DIFFERENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES I7I
Js 2. Différentiation des fonctions implicites.
171. Les fonctions implicites sont celles qui sont définies par des équations non résolues. Dans le paragraphe précédent, on a indiqué sous quelles conditions on peut s'assurer de l'existence de ces fonctions et l'on a montré que les équations différentiables définissent des fonctions défférentiables. Ceci admis, la détermination des dérivées et des différentielles des fonctions implicites se fait, sans aucune difficulté et par une méthode uniforme, en différentiant totalement les équations qui définissent les fonctions.
172. Dérivées et différentielles du 1" ordre. — i" Considérons d'abord la fonction implicite y d'une seule variable x, définie par une équation différentiable unique
Différentions totalement cette équation (n'' i6i), il vient
dv
ôx
dy
dy = 0,
où nous tirons
, pourvu
[ que
ne soit pas nul
dy -
dy dx
Fi
ce qui fait connaître la dérivée et la différentielle de y au moyen des dérivées partielles de F.
On peut aussi obtenir la dérivée de y sans passer par la différentielle. On observe que F (x, y) est une fonction composée de X qui demeure constante quand on y remplace y par sa valeur o{x) tirée de l'équation F = 0. Donc sa dérivée sera nulle, et il vient, par la règle du n" i6o,
dl,dFdy^ dx dy dx '
équation d'où l'on tire aussi -. Quand on opère ainsi, on dit
souvent que l'on dérive totalement l'équation proposée par rapport à a;.
2° Soit maintenant ii une fonction implicite des variables indépendantes x, y,..., définie par l'équation différentiable V{x,y,...u)^0,
Il vient, eu différentiant.
Ou
et l'on en tire l'expression de la différentielle totale F'^dx + F'^dy^...
du
pourvu que F^^ ne soit pas nul.
Les dérivées j)artielles de u sont les coefficients de dx, de
dy,...
àu__^ au F,
dx F',' à Y ^
D'ailleurs ces valeurs s'obtiennent par le même calcul que dans le i^remier cas, en considérant toutes les variables indépendantes sauf une comme constantes, et u comme fonction d'une seule variable.
3° Considérons maintenant m fonctions implicites u, v,... d'une seule variable indépendante x, définies par m équations : j Fi{x, u,v,..,) = 0 \ (i = I, 2,... m) Il vient, en différentiant totalement ces m équations, dFi
, , ^F, , , dFi , ,
/o\ } A dx -i- -^ — du ^ — ^ — du ^- (2) < âx du du
\ -r-^ ax -h -:r-^ au + ~^^ av -\- ••• -= 0 {i = I, 2,... m} Soit J le déterminant des coefficients de du, dv,..., à savoir
dF, dF, du dv J- dF, dF, du dv
Si J n'est pas nul, on tire des équations (2) les valeurs de du, de dv,... sous forme de fractions aj'ant pour dénominateur commun J. En divisant par dx, on trouve les dérivées. D'ailleurs ces dérivées peuvent aussi s'obtenir, sans passer par les différentielles, en dérivant totalement les équations (1) par rapport à x, ce qui revient à diviser les équations (2) par dx.
4° Passons enfin au cas général. Soient m fonctions implicites
