DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES

II, v,.... de n variables indépendantes x, y,..., définies par m éfiuations simultanées :

^s i Fi{x,y,...,ii,v,...)-^0

En ditïérentiant totalement ces équations, il vient

(2) ' dx dy ou ou

Soit, comme dans le cas précédent, J le déterminant des coefficients de du, dv,... Si J n'est pas nul, on résout les équations (2) par rapport à du, du,... On obtient ces différentielles sous forme de fractions ayant J pour dénominateur commun et dont les numérateurs sont linéaires par rapport à dx, dy,... Les dérivées partielles d'une des fonctions sont respectivement les coefficients de dx, de dy,... dans sa différentielle. Elles s'expriment donc rationnellement au moyen des dérivées partielles des fonctions F/ par rapport aux variables x, y,... u, v,... et elles ont J pour dénominateur commun. On peut aussi les obtenir directement, comme dans le cas précédent, en considérant u, V,... comme fonction de .v seul, de y seul, etc.

173. Dérivées et différentielles successives. — Les dérivées et les différentielles du deuxième ordre, du troisième, etc.. s'obtiennent par l'application des mêmes principes, en différentiant ou en dérivant totalement deux fois, trois fois... l'équation ou les équations proposées toujours supposées différentiables. Aucune notion nouvelle ne s'introduit, mais il faut observer que, dans ces dif férentiations successives, les différentielles premières des variables indépendantes doivent être traitées comme des constantes, taudis que les différentielles des fonctions sont elles mêmes des fonctions ayant des différentielles successives que l'on désigne par les caractéristiques d, d^,... d" et qui sont précisément les inconnues que l'on cherche.

Soit d'abord à déterminer les dérivées successives d'une fonction y de X, définie par une seule équation F(a', y) ^ 0. On a, en dérivant successivement.

dx dy dx '

d^¥ d'F dy ô-'FrdyY àFdy

dx^ "^ ^ ôxârdx "*" ()y\dxj "^ dv dx- '

La première équation donne Dy, la deuxième D- v après qu'on a remplacé Dy par sa valeur, la troisième D^y après avoir remplacé Dy et D'^y par leurs valeurs, et ainsi de suite.

Pasons enfin au cas général où m fonctions u, v,... des 7i variables indépendantes x, y,... sont définies parle système de m équations :

Fi{x, y,... u, y,...) -= 0, (i = i, 2,... m).

En différentiant de proche en proche, on en tire les systèmes successifs :

/rf,v + ... + /ri„+...YF,+^ri«„ + ifirf=.+...^0, dx du J du dv

Le premier système donne du, dv,... Portant ces valeurs dans le système suivant, on en déduit d-u, d~v,... et ainsi de suite. On a chaque fois à résoudre un système d'équations linéaires : les inconnues sont du, dv,... dans le premier ; d-u. d"v,... dans le second, etc.. On remarquera que le déterminant des coefficients des inconnues est, dans tous ces systèmes, le même déterminant .T supposé différent de 0.

Les dérivées partielles d'ordre /j des fonctions u,... s'obtiennent encore, par le principe du n^ iS;, en identifiant la valeur obtenue pour dPu avec l'expression générale de cette différentielle

dPu^ii- dx 4- i- dy + - ] u.

\dx dy - J

On peut aussi déterminer ces dérivées par des dérivations totales successives effectuées sur les équations proposées par rapport à chacune des variables indépendantes, mais le procédé par différentiations totales successives sera généralement plus pratique.