EXTREMES LIES

Exercices.

1. Calculer les dérivées successives de la fonction v de x définie par l'équation

. Log V^' -\- y'~ =^ arc tg •

j^ dy ^xAry d'^y ^ ^ x^ -\-y^ dx x—y' dx'^ " (x — y)^'"'

2. Dérivées successives des fonctions j et ^ de ;t: définies par les deux équations

^ dv z — x d-v 2>¥ — a^

SX.

dx y — ir' dx^ {z — yY'"'

3, Différentielles totales et dérivées partielles de la fonction z des variables x et y définie par l'équation

4. Différentielles totales et dérivées partielles des fonctions ^^ et m de ;t et y définies par deux équations

5. Etant données deux équations entre quatre variables x. y. u, v, on peut considérer u, v comme fonctions de x, y ou x, y comme fonctions de u, V. Les dérivées partielles de u, v dans la première hypothèse, celles de x, y dans la seconde, vérifient les équations

du dx dv dx du dy dv dy

dx du dx dv ' dx du dx dv '

et deux autres analogues qu'on obtient en permutant a- et v dans les précédentes.

§ 3. Extrêmes liés.

174. Extrêmes liés d'une fonction explicite de deux variables. — Soit /"(.v, y) une fonction différent iable de deux variables .v et 3^ liées entre elles par une équation différentiable

en sorte que /■ ne dépend en réalité que d'une seule variable, par exemple .v. Il s'agit de déterminer ses maximes et ses minimes. Ceux-ci sont ce qu'on appelle des maximes ou des minimes liés.

En supposant toujours satisfaites les conditions d'existence et de continuité, on est donc conduit à annuler la dérivée totale de f{x, y), y étant considérée comme fonction de x. D'autre part, v' s'obtient en dérivant l'éqnation F (a:, y) = 0. On trouve ainsi les deux équations :

ox ây^ âx dy -

d'où l'on tire, eu éliminant y' ,

Ox à y Oy dx ~

Cette équation, combinée avec F = 0, donnera les systèmes de valeurs de x, y pour lesquels /"peut être extrémée. La vérification pourra se faire au mo^en du signe d-f.

175. Cas g-énéral, — Supposons que l'on cherche les maximes et les minimes d'une fonction différentiable, f{x, y,.., 11, v,...), de m 4- /î variables liées entre elles par /i équations indépendantes et différentiables :

(1) F, (a-, 3%-; ". ".•••) = 0, (/ =^ I, 2,... il), de sorte que /ne dépend en réalité que de m variables indépendantes, par exemple .v, y,... Laissant de côté les cas de discontinuité, tout système de valeurs de ces m variables qui extrèmera /"devra annuler sa différentielle totale (n'^ 167). D'autre part, les équations (1) peuveut être différentiées totalement. On est donc conduit à poser le système de (n + i) équations :

j --S— dx + -^ — dy + ... H ^ du -h ..- = 0.

\ dx dy ' du

Entre celles-ci, on peut éliminer les différentielles du, dv,...

des n variables indépendantes. L'équation résultante sera de la

forme

McZa; + Xf/y + ... = 0 ;