EXTREMES LIES I

et, comme elle ne renferme plus que les m différentielles arbitraires, elle se décompose en m autres : M-0, X = 0,...

qui, jointes aux-flr équations (1), constituent un système de (m -\- n) équations simultanées entre les (m -|- n) inconnues .V, y,... Il, V... En résolvant ces équations, on trouve les sj-stèmes de valeurs des inconnues qui peuvent extrémer /". Il restera à discuter ces valeurs au moyen du signe de d^f ou par toute autre méthode, cette discussion étant généralement très compliquée.

176. Méthode des multiplicateurs de Lagrang-e. — L'élimination des différentielles entre les équations (2) du numéro précédent se fait généralement de la manière la plus commode par la méthode des multiplicateurs, qui introduit plus de symétrie dans les calculs. On multiplie respectivement les équations (2), hormis la ijremière, par des facteurs à déterminer Aj, \,... K^, puis on additionne toutes ces équations (2) membre à membre. On trouve un résultat de la forme

Xdx + Bdy + ... \- Vdii )-... = 0.

On imagine que l'on dispose des m facteurs arbitrairs A de manière à faire évanouir dans cette équation les coefficients P,... des m différentielles du,... qui ne sont pas indépendantes. Alors il ne reste plus dans l'équation que les différentielles arbitraires, de sorte que les autres coefficients doivent également s'annuler. On est ainsi conduit à annuler les coefficients A, B,... P,... de toutes les différentielles, ce qui fournit m + n équations :

dx ^ ôx • dx

ôf , . dV, , . dF., , du ^ du ^ du

Les systèmes (1) et (3) renferment en tout 2111 + n équations, qui serviront à déterminer les valeurs des m + n variables x, y,... u,... et des m facteurs inconnus ).j, Xg?-" "^m-

Eemarque I. Le système (3) est le même que celui que l'on

forme eu chercliant les extrêmes libres de la fonction <ï>, définie par l'étination

CD = /--f Aj Fi + X^ F, + -. Xn Fm,

et dans laquelle on considère .v, y,... ii,... comme des variables indépendantes et A-, Xg,... \n comme des constantes.

Remarque II. — La considération de la fonction 4> est aussi commode pour la discussion du signe de d-f. En effet, l'écxiiation ^ = /"est une conséquence des équations (1) ; on a, eu vertu des mêmes équations, d'^f = (/^<I> et aussi

rf-^d, = dZf+ A, d'F, + ... + Xnd'F,n.

Remplaçons dans le second membre les différentielles secondes de /", F,,... par leurs expressions générales telles que

d-F = [ -^ dx 4- ... + ^ du + ... F + ^ d'u + ... \dx du J du

Les termes en d~u, d-v,... disparaîtront en vertu des équations (3) et il restera

,,7 = </^*,.(^dx + ... + |^ </« + ...)■*.

On peut donc remplacer d^f liSiv d^^, qui se calcule comme si les variables étaient indépendantes et les X constants. Bien entendu, pour la discution du signe de d'^f, il faudra peut-être encore éliminer les différentielles premières du,... des variables dépendantes, mais l'introduction de <ï^ a eu pour avantage d'éliminer immédiatement leurs différentielles secondes.

Exercices.

I. Trouver la route que doit suivre un rayon lumineux pour aller d'un point A à un point B dans le moindre temps possible. Ces points sont situés dans deux milieux distincts où les vitesses de la lumière sont respectivement ii et v. On suppose plane la surface de séparation des deux milieux.

R. On voit de suite que cette route est dans le plan mené par A et B normalement à la surface de séparation. Soient a et ô les distances de A et de B au plan de séparation, a- et v les angles respectifs du rayon incident et du rayon réfracté avec la normale à ce plan. La fonction qui doit être minimée est