Problème analogue pour une surface du second degré

8. Partager le nombre positif a en trois parties x, y, z, telles que f =zx"'y" zP soit maximée (?«, n, p étant positifs).

R. On trouve facilement ^— = - = t = — \ , — r- Le caractère d'un

VI 11 p m -f- Il -f- p

maxime se vérifie immédiatement car on a, pour ces valeurs de x, y, z,

§ 4. Changement de variables.

Il arrive fréquemment que l'on doive transformer les expressions différentielles en substituant de nouvelles variables aux anciennes. Ces calculs se font par rapplieation des règles générales de difféi-ientiation. Mais il peut être utile d'indiquer un procédé systématique pour effectuer les transformations les plus usuelles. Nous commencerons par résoudre une question l)réalable.

177. Dérivées successives d'une fonction par rapporta une autre fonction. — .Jusqu'ici, pour calculer les dérivées successives de y par rapport à x, on a considéré .v comme la variable indépendante et supposé dx constant, auquel cas,

T. '0' Ti2 à' y n d''y

^-y = <fx' ^^y = d^- ^^y = d^'-"

La première formule subsiste, même si a: est une fonction (11" 90, y), mais il n'en est plus ainsi des suivantes qui supposent dx constant (n" 117). Pour calculer les dérivées successives de y par rapport à .v au moyen des différentielles successives de ces deux variables, sans choisir a; comme variable indépendante, il suffit d'appliquer successivement la première formule en observant les règles générales de différentiation. On trouve de proche en proche

Changement de variables i8i

0) \ n- .' - ^- ^•^^' - Al A^d'y — dyd'x I ""^ ~ dx ~ dx ~' dx^

\ n=^ d.I}%r dx{dxd^y—dyd\x)—3d^x{dxd^v-dyd'-x) \ ^^^y- dx ~' ' dx^

et ainsi de suite. La loi générale est assez compliquée.

Soit inaiiiteuant t la variable indépendante. Proposons-nous d'exprimer les dérivées successives de r par rapport à .v au moyen des dérivées successives de x et de y par rapport à t. En désignant j^ar des accents les dérivées par rapport à t, on a

dx = x'dt, d'x = x"dt', d\x ==r x"'dt%... (ly^y'dL d'y = y"dt-, d'y = y"'dt\...

Substituons ces valeurs dans les formules (1), dt disparait du résultat, car les seconds membres sont homogènes et de degré 0 par rapport aux indices de différentiation. Il vient donc

, X' (x'y'" - fxn - 3x" (.v'y" - v'.v")

178. Fonctions d'une seule variable. — Soient y une l'onction de la variable indépendante .y. et

une expression renfermant x, y et les dérivées de v par rapport à X Jusqu'à un certain ordre. La transformation de cette expression par un changement de variable donne lieu à deux problèmes principaux :

1*^ Changement de la variable indépendante. Etant donnée une relation

(4) x^'fit)

entre x et une nouvelle variable t, on choisit t comme variable indépendante au lieu de x. Il s'agit d'introduire t au lieu de x

l82 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

dans V et, ])ar suite, los dôri vi'cs de y ])ar i'a]i]")ort à / an lion des dérivées par rapport à .v.

Ce problème peut être résolu au moyen des formules (2), où l'on trouve les valeurs des dérivées de y par rapport à .v en fonctions des dérivées .v', .v"..., y', y"... de a: et de v par rapport à t. On substitue ces valeurs dans V, et Ton remplace x, .v', .v"... par leurs expressions 'f (t), 'f' (t), o" (/),... tirées de (4), le Ijroblème sera résolu.

2" Le deuxième problème est celui du changement de fouies /es variables. Etant données deux équations

F (a% ,v, t, II) = 0, Fi (a-, v, /, u) =^ 0,

entre a", v et deux nouvelles variables t, u, on demande d'exprimer Y au moyen de t, u et des dérivées de u par rapport à t. Dérivons totalement les équations données par rapport à t, en considérant x, y, u comme des fonctions de t prise comme variable indépendante. Nous en tirons de proche en proche (n° 178) les valeurs des dérivées .v', y\ x", y".... de a' et y par rapport à ^ en fonction de x, y, u, n' , u",... Substituons ces valeurs dans les équations (2), nous obtenons des expressions de D^-.v, D%y,... que nous porterons dans V. Il ne restera plus qu'à éliminer a*, y au moyen des équations F -- 0 et Fj = 0. Le problème sera résolu.

Ce cas se présente lorsque, une grandeur géométrique étant exprimée en coordonnées rectangulaires a' et v par une expression telle que Y, on veut la transformer en coordonnées polaires r et 9 par les relations

A' == r cos 6, y = r sin 6.

Les accents désignant des dérivées par rapport à 8, on a

x' = r' cos 8 — r sin 9, )'' = r' sin h -\- r cos 9,

A'" = r"cos8 — 2r'sin9 — rcosG, v" = r"sin9 -f 2/-' cos 9 — rsin9

et les relations (2) deviennent

r' sin 9 -\-r cos 9 , . r- + 2r'- — rr"

r cos9 — rsin9 • (r cos9— /•sin9)-

Substituant ces valeurs de A', y, Da^y,... dans Y, on aura résolu la question.

CHANGEMENT t)E VARIABLES lô3

179. Fonctions de plusieurs variables. — Nous supposerons, pour abréger, qu'il n'y ait que deux variables indépendantes, mais la méthode sera générale. Soit H une fonction des deux variables indépendantes x et y, et

^ ' ' ^ ' dv ây dx- '

une expression renfermant les variables et les dérivées partielles de H jusqu'à un certain ordre. Comme dans le cas précédent, la transformation de cette expression par un changement de variables donne lieu à deux problèmes principaux :

1" Changement des variables Indépendantes. On donne deux relations entre .v, y et deux nouvelles variables u, v :

(6) Fi (x, y, II, v) = 0, F2 ('V, y, II, v) = 0.

On choisit 11, y comme variables indépendantes au lieu de .v, y et l'on demande d'introduire u, v au lieu de .v, y dans V et, par suite, les dérivées de H par rapport à u, v, au lieu de celles par rapport à .v, y.

11 faut d'abord exprimer les dérivées partielles de H par rapport à X, y en fonction des dérivées par rapport à u, v. On 3' arrive comme il suit : Prenant x, y comme variables indépendantes, on différentie successivement les équations données Fj =:= 0 et F2 = 0. On en déduit, de proche en proche (n° 178), les valeurs de du, du, d^ii, d-v,.,. en fonction de x, j, u, v, dx et dy. Portant ces valeurs dans les expressions suivantes des différentielles de H (n° i56) :

i «H = -^; — du -\ — r— du, i du dv

on trouve, en i-éduisant,

/• dH =- p dx -\- (j dy, (8) j f/2H = r dx' + 2 .s dx dy -\- t dy',

où p, q, r, s, t,... renferment a-, y, u, u et les dérivées de H par rapport à u, v. Les variables x, y étant indépendantes, on en conclut (n° 167)

l84 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DÉ VARIABLES

dB. on d-B

~Â — "^ P' ^ — = 'I -jT^r^ = J", etc.

ax ' dy ' dx- '

Ce sont les exi)ressioiis des dérivées partielles qu'on se proposait d'obtenir. On porte ces valeurs dans V et on élimine, s'il y a lieu, x, y par les équations (6). Le problème sera résolu.

2° Changement de toutes les variables. On donne trois relations :

(9) r^ (.V. y, 11, lu V, K) = 0, F„ = 0, F, = 0,

entre x, y, II et trois nouvelles variables u, v, K. On demande d'exprimer Y en lonction de u, v, K et des dérivées ])artielles de K considérée comme fonction de ii, v.

Choisissant x, y comme variables indépendantes, on difierentie totalement les trois équations données et on en tire, de proche en proche, les valeurs des différentielles successives de II, V, K en fonctions des différentielles de x, y, H. Les différentielles de K en particulier, sont de la forme

■ r/K = A (Ix + B <ly -f C f/H,

(10) r/q< = D dx- + ... + L r/II- -f F fZ^H,

où A, B, C, D,... sont des fonctions connues de x, y, II, ii, v, K. D'autre part, portons les valeurs analogues trouvées pour du, dv, d-u, d^o,... dans les formules générales :

: f/K = ^; — du -\ — ^- dv, i du dv

(11) 1 ,.,,. rd, d . \. , ^K ,., , dK -,

J d-K = ^— du -\-^-dv -Iv+ -^ dhi -\ — ^ — d-v, I \du ' dv J du ov

il viendi'a, en réduisant,

f/K = M dx + X dy + P dH,

(12) ] fFK = Q dx"" + ... -f Pv dW + S d^H,.

où M, X, P, Q,... contiennent linéairement les dérivées partielles de K par raj)port à u,v.

En égalant les valeurs (10) et (12) de r/K, fFK,... il vient (M — A) dx + (X — B) dy -f (P - C) dVL = 0, ((^ D) dx'~ + ... -f (R — E) f/H= + (S — F) c/-H = 0,

ClîANGEMEÎSrf DE VARIABLES

La première équation donne dH. Portant cette valeur dans la suivante, on en tire d^H, et ainsi de suite. Les résultats sont de la forme

r/H = }) dx -f q dy, d'U = r d\' 4- -^ s dx dy | / dy-,

où. ]>, q, r,... sont des fonctions rationnelles connues des dérivées de K par rapport k ii et v. On conclut de ces relations

ôx ' dy - dx"

On portera ces valeurs dans \'. On éliminera, s'il y a lieu, .v, )-, H par les relations Fj =^ F., ^^ F3 ^ 0. Le problème sera résolu.

180. Premier exemple. — Soit H une fonction de deux variables, x,y. On demande de transformer l'expression

^ ' ôx' dy

par les formnles de transformation des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires dans le plan :

(14) X : - u cos V, y = u sin v,

C'est le premier des deux problèmes résolus au numéro précédent. Suivant la méthode générale, on différentie les équations données et il vient

dx = (cos v) du — (sin v) u dv, dy =■ (sin v) du -| (cos v) u dv.

On en tire

S du = cos V dx -\- sin v dv

i u dv = — sin V dx -\- cos v dy

et, en différentiant de nouveau,

d'-u = (— sin V dx + cos v dy) dv = u dv-

du dv + « d'v = — (cos V dx + sin f dy) dv ^= — du dv.

On a donc

d~u = u dv^, d-v = — 2 ~ —.

Portant ces valeurs dans le seconde formule (7), elle devient

d^H =^— du- -\-2[ ^ — r - ] du dv -^ri ~^ — + «^ï— d 'V-

du- \.du dv u dv J \ dv- du J

Il reste à remplacer du et dv par leurs valeurs (15) et à ordonner par rapport à dx et dy. La quantité V sera la somme des coefficients de

l86 CHAPITRE ÏV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES

dx^ et dj'. Or la somme de ces coefficients est égale à i dans le développement de du-, à 0 dans celui de du dv et à. i : m' dans celui de dv'^. On a donc immédiatement

^ ^ du- u- dv- u du

181. Deuxième exemple. — Soit H une fonction de trois variables x,y,z. Transformer l'expression

Ox- Ôy- Oz-

par les formules de transformation des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires dans l'espace :

(18) A- ^ M sin a' cos i', )' =^ /< sin î.' sin t', z =^ ucosw.

On simplifie le problème en faisant la transformation en deux fois. Posons d'abord u sin 7i> = ti\ et éliminons x, y par les relations

(19) ;i^ = «iCosî', r = /<isinî;. On aura, par la solution du problème précédent,

^ ^ dx-^ ^ ây^ àuy u\ âv^ '^' u, Oui'

Eliminons ensuite z et Wi par les relations

(21) s = ucos-7.', «i=»sin?4'.

On aura

^ ^ dz-^ "^ dul du-^^ n' âw- ' H du-

Ajoutant membre à membre les équations (20) et (22), il vient

(23) à:Jl + à'>^ + àm^àJH jjm ^àH ' Ùx^ Oy"- Ôz- du- U'' dw^ u du

1 à^-B. I dH

"^ ul dv^ ui dui

Il faut encore exprimer -— au mo3-en de u, 2^' par les relations (21). Pour cela, on forme les valeurs suivantes, analogues aux valeurs (15): du = cos 7v dz -'^ sin ?<' dux , udii) == — sin -w dz + cos w dui ; on les substitue dans l'expression

dH = ^- du -]- ^- dw du dw

CHANGEMENT DE VABIABLES 187

et, en cherchant le coefficient de du\, on trouve

ÙH im . , i(?H

--— =^ - sin ïi< H — ^— cos w.

Ôui du n Ok'

Portant cette valeur dans (23), on a finalement

^ ' ()u~ u Ou u'-\ôu''- s\n wdwj îi''sin~w âv-

182. Transformation de Legendre. — Dans certains cas, les relations qui lient les nouvelles variables aux anciennes renferment aussi leurs dérivées. La transformation de Legendre en est un exemple remarquable. Soit s une fonction de deux variables indépendantes X, y. On pose

ôz dz

On suppose qu'il n'3' ait pas de relation entre p et q et l'on se propose d'exprimer les dérivées secondes de z par rapport à x et à y en prenant p, g comme nouvelles variables indépendantes, et, comme nouvelle fonction, la variable u définie par l'équation

(1) ti = px^- qy — z.

En difterentiant cette relation et en observant que l'on a

(2) dz = p dx -]- q dy, il vient

du -= X dp -{-y dq.

On en conclut, p et q étant indépendants par hypothèse, du (^^ ,

puis, en difterentiant ces deux relations,

(3) ,- dp + - -,— dq = dx, — -— dp-V ^-dq= dy. ôp- "^ dpOq âpdq dq'- ^

Les différentielles dx et dy étant arbitraires dans ces deux équations, on en conclut que le déterminant

dp^ dq-^ Kdpd^J

est différent de zéro par hypothèse. Par suite, ces deux équations peuvent se résoudre par rapport à dp et dq et il vient

\dq' dpàg ■" J ^ HV^/>2 ' dpdq J

l88 CHAPITRE IV. FONCTIONS iMPLfClTES. CîîANGEMÉNT DE VARIABLËF!

Portant ces valeurs dans la difterentielle totale

d~z ^= dp dx '\- dq dy,

obtenue en différentiant l'équation (2) et en considérant x, y comme les variables indépendantes, dx et dy comme constants, on trouve enfin

d~z=^^-\ - dx 2 -, - ,- dxdy + . dv

H \dq- dp dq ^ ôp"~ ■

Cette formule résout la question. On en conclut

d-z I d'-u d~z __ I d'îi d^u I d~u

dx^'' H dq--' dx dy ~~ îi Ôp ôq ' dy^~ H dp^'

Exercices.

1. Exprimer les dérivées de y par rapport à x en fonction des dérivées x', x",... de X par rapport à v.

R. U^y^^, Df.^---^. D^^ = '""'," "'"".'"c-

2. Transformer, en prenant >/ comme variable indépendante, l'équation

dx dx' \dxy

R. On trouve x'" = 0.