CHAPITRE V
Intégrales indéfinies. Méthodes classiques d'intégration.
,i^ 1. Procédés généraux d'intégration.
183. Problème des quadratures. — J^e calcul intégral est l'inverse du calcul différentiel. 11 a pour objet de remonter des relations données entre les variables et leurs différentielles aux relations qui existent entre les variables seulement.
La j)remière question traitée dans le calcul différentiel était de trouver la dérivée ou la différentielle d'une fonction donnée f{x). Le calcul intégral doit débuter par la question inverse :
Une fonction f{x) étant donnée, trouver tontes les fonctions qui ont f{x) pour dérivée ou, ce qui revient au même, f{x) dx pour différentielle.
Ce problème a reçu le nom de Problème des quadratures, d'après le problème de géométrie auijiuel il est étroitement lié et que nous étudierons plus loin. On doit d'abord se demander s'il existe toujours une fonction ayant pour dérivée f{x), ou si le produit de f{x) par dx constitue toujours une différentielle. Nous prouverons bientôt, en exposant la tliéorie des intégrales définies, qu'il en est bien ainsi dans tout intervalle où la fonction /'(.v) est continue. Xous admettrons provisoirement ce résultat dans le chapitre actuel et nous supposerons une fois pour toutes que la condition de continuité est réalisée dans les théorèmes généraux que nous allons énoncer.
184. Fonction primitive. Intégrale indéfinie. — Une fonction F (x) (|ui a /'(.v) pour dérivée ou f(x) dx pour différentielle s'appelle une fonction primitive de f{x) ou une intég-rale de /'(.v) dx. On dit aussi une intég-rale de f{x).
La connaissance d'une seule fonction primitive de /(.v) four-
PROCEDES GENERAUX D INTEGRATION I9I
nit la solutioa complète du problème des quadratures. On a, en effet, le théorème suivant :
Soit f'{x) une fonction continue ; si F (a) a pour dérivée / {x) dans un intervalle (a, b), l'expression
où C est une constante arbitraire, représente, dans cet intervalle, toutes les fonctions (jui ont pour dérivée f{x).
En effet F(a-) -\- C a pour dérivée f{x) ; et, réciproquement, toute fonction qui a f{x) pour dérivée, ayant la même dérivée ([ue F (a), ne diffère de F (a) que par une constante (n" io5).
D'après cela, la fonction F(a) + CoùC est une constante arbitraire, est la fonction la plus générale qui ait /"(a) pour dérivée et f{x) dx pour différentielle. Cette fonction se nomme Vintégrale indéfinie ou générale de /'(a) dx et se représente par la notation
(|ui comprend implicitement la constante arl)itrairc.
185. Propriétés des intégrales indéfinies qui résultent immédiatement de leur définition. — i" Par définition de l'intégrale indéfinie, on a la relation
'|/(A)dA
/•(A) dx.
Donc les signes d et J se détruisent quand le signe d est placé devant le second.
Pareillement, par définition,
D |/(a) dx ^^ /-(A).
2° F (a) étant une intégrale de (/ F (a), on a
j'dF(A)=F(A) + C.
Donc les signes d et \ se détruis iit encore devant F (a) quand le signe d est le second, mais il faut ajouter une constante arbitraire à la fonction F (a).
3° Un facteur constant peut être mis liors du signe d'intégration, c'est-à-dire que, si a est constant,
|'a/(A)r/A -^-a \f{x)dx.
192 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES
Eli elfet, les deux membres ont afÇx) pour dérivée. Donc ils ne peuvent différer que par une constante. Mais, comme ils comprennent tous deux une constante arbitraire, ils ont le même sens.
4° L'intégrale indéfinie d'une somme de différentielles est ég-ule à la somme des intégrales de chacune des différentielles. Ce théorème est exprimé par la formule
\ {u -{- V — m -f •••) dx ■= udx + vdx — I wdx -f •••
En effet, les deux membres, ayant la même dérivée {u -\- u — lu + •••), ne pourraient différer cxue par une constante ; mais, comme leur définition comporte une constante arbitraire, ils ont la même signification. 11 est vrai qu'il y a en apparence plusieurs constantes arbitraires dans le second luembrc, car chaque terme en comporte une à lui seul, mais, comme ces constantes s'ajoutent entre elles, elles se réduisent en réalité à une seule distincte.
186. Intégration immédiate. — Les résultats trouvés dans le calcul différentiel permettent d'écrire immédiatement les intégrales de quelques différentielles simples. En effet, lorsque, dans l'expression à intégrer, on reconnaît la différentielle d'une fonction connue E(a'), il suffit d'ajouter à celle-ci une constante arbitraire pour obtenir l'intégrale. Cette remarque, appliquée au tableau des différentielles des fonctions élémentaires, conduit à former le tableau suivant, qu'il importe de bien posséder par cœur :
I siii A' dx = — cos A" + C, j cos A" dx ■-= sin a + C,
(J^ tgvv + c, 'f-^ ~ - ...t .V + V.
jcos^A- ^ jsm-A
I ^ .^ =^ arc tg X -\- C = — arc cot a + C,
dx
arc sin a -j- C = — arc cos a 4- C,
= ^ arc sec a -f C = — arc cosec a -f- (. .
x\Jx- — I
PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATION IqS
Nous allons indiquer maintenant les principaux artifices à l'aide desquels on peut ramener l'intégration des différentielles plus compliquées aux formules du tableau précédent. Ces artifices sont au nombre de trois : i" Décomposition en éléments simples ; 2° changement de variables ; 3" intégration par parties.
187. Intégration par décomposition. — C'est l'application de la propriété énoncée au n*^ i85 (4"). Si l'on peut décomposer la différentielle f{x)dx en une somme de termes que l'on sait intégrer, en faisant la somme des intégrales de chaque terme, on obtiendra l'intégrale de f{x)dx.
Cette méthode s'applique à un polynôme :
(ao + a^x + ... + anX")c/A- = aoX-\r «i — H h ^nj^-^^ + C.
Elle s'applique aussi à d'autres fonctions, par exemple,
r ^^ r(siii^ X + cos^ x)dx Ç dx Ç dx
J sin^ .\' cos^ x~ J sin^ x cos^ ;x: ~ } cos^ x } sin''^ .v '
tg a; — cot a; 4- C.
sm' X cos* A*
188. Intégration par substitution. — Cette méthode résulte de la règle de différentiation des fonctions de fonctions. Proposons-nous d'exprimer f f{x) dx à l'aide d'une nouvelle variable t, liée à a: par l'équation
Je dis qu'il suffit de faire la substitution sous le signe f, c'est-à-dire que l'on a, cp (t) ayant une dérivée continue ^'{t),
jf{x)dx^jf[^{t)]^'{t)dt,
En effet, les deux membres, ayant la même différentielle
f{x)dx^f[^{t)]^'{t)dt,
ne peuvent différer que par une constante, mais, comme ils comportent une constante arbitraire, ils ont le même sens.
On voit que, si l'on choisit la substitution de manière à ramener f{x) dx à une forme que l'on sait intégrer, on obtiendra l'intégrale en fonction de t. Pour l'exprimer en fonction de x, il suffira d'y remplacer t par sa valeur tirée de a = 'f{t).
t at
On obtient ainsi, par les substitutions a* =.- - et a =^ ^— ,
( e«^ dx = - r e« d^ = - + C =: ^ + C, j aj a a
r c/a; I r <^/f I ^ . , rs I ^ ^a; , „
2 1 , o o = -y — 7-7^ = ~r ^ï'c tg ^ + C = — p arc tg \- C.
Ja^-\-b-x~ abji-[~t- ab '^ ab ^ a
De même, par substitution a' — p = qt, on obtient l'intégrale, que nous rencontrons bientôt (n*' 196) :
C qdx r dt ^ / , r. ^ ^ —P,n
J (.V- ,,y + ^e = J rpTi - arc tg f + C = arc tg -^ + C.
Remarque. — Dans les cas simples, il est inutile d'introduire de nouvelles lettres et la substitution se fait mentalement. Ainsi on écrit, sans passer tout au long par la substitution ^{x)^t,
'-^|> = Logy(^)+C.
En particulier,
f dx 1 Cd{a~\- bx) i^ / , i x , r.
J {x - pY i-q'" } {X - pY + q^' ~ ^""^ ^^^ ^'^ H g J + O.
189. Intégration par parties. — Cette méthode est une conséquence de la règle pour différentier un produit. Soient 11 et v deux fonctions de x, on a
d iw = Il du + V du, d'où 11 du = d.iw — v du.
Il vient donc
du.
udv --= d.uv — V
Mais le premier terme du second membre est égal h, uv -\- C ; et, comme cette constante C peut être comprise dans le second terme, il reste simplement
\u dv --=^ uv — \v du.
Cette formule renferme la régie d'intég-ration par parties. Elle ramène l'intégration de u dv à celle de v du, qui peut être plus facile.
PROCEDES GENERAUX D INTEGRATION igt»
Soit, par exemple, à intégrer xe^dx. On pose x = « et e^= y (d'où e^f/A' = dv). Il vient alors
xe^dx = xe^— e^dx -= xe^— e^ 4-
190, Combinaison de diverses méthodes. — On doit souvent employer successivement plusieurs des méthodes précédentes pour effectuer complètement l'intégration. En voici quelcxues exemples :
1") En intégrant d'abord par parties et ensuite par substitution, on trouve
C . ^ . C '^'f^^^' ^ Log(i4-A.'') , ., arc tg A' dx == a arc tg x — ^., = arc tg x ^^ + C.
2°) On trouve, en intégrant d'abord par décomposition et ensuite par substitution,
J a'^ — bKx- ~ 2âJ â+bx "^ 2a J a — bx ~ 'lab ^^ a — 6a ^ ' 3°) Par la substitution a = a sin cp, il vient d'abord
dxsja^ — A^ = a^ cos^œrf'^.
Ensuite, en effectuant la décomposition par la formule
„ I + COS 2cp COS^cp = -,
il vient
a^ 1 cos^cpc/cp = - j f/cp -| COS 2fd(f
Enfin, eu revenant à la variable a, on trouve
a' ■ -^ , xsja- — A^
dxsja^ — A^ = — arc sin - -| 1- C .
191. Formules de réduction. — Pour fixer les idées, considérons un exemple. Soit à intégrer a" e«^ cZa. Appliquons la formule d'intégration par parties, en regardant e«^c?A comme une différentielle dv (n" 189) ; il vient
x''e"^dx - A" A**-
j a aj
Cette formule ramène l'intégrale du premier membre à une intégrale de même forme, mais où l'exposant n est abaissé d'une unité. Si n est entier et positif, cette formule s'applique de proche en proche et change successivement n en {n — i), (n — 2),... jusqu'à ce que l'exposant de a^ soit abaissé à zéro. Il n'y a plus alors qu'à intégrer e^^dx, ce qui est immédiat. Une formule telle que la précédente, qui s'applique de proche en proche et permet de simplifier de plus en plus l'intégrale proposée jusqu'à ce qu'on sache l'intégrer, est une formule de réduction. Nous en rencontrerons de nombreux exemples.
192. Dérivation par rapport à un paramètre. — Soit f{x, a) une fonction de la variable .y et du j)aramètre a ; supposons qu'on ait obtenu, en considérant a comme une constante indéterminée,
(1) jf{x,a)dx==F{x,a) + C.
Je dis que l'on peut en déduire, eu dérivant par rapport à a sous le signe J,
(2) JDa f{x, a) dx = D« F {x, a) + C.
Cette régie suppose seulement que les conditions de continuité des dérivées partielles de F qui assurent l'égalité F^'^ = F^'^ soient vérifiées (n° i53).
En effet, les dérivées par rapport à la variable .x des deux membres de l'équation (2) sont respectivement
Bafix,a) et D^D,,F(.v,a).
Ces deux dérivées sont égales, car on peut intervertir par hypothèse Da? et D^ , et l'on a
D^.D«F(x, a) = J)a.Ba-F(x, a) = D«/(.v, a).
Les deux membres de l'équation (2), ayant même dérivée, ne diffèrent que par une constante par rapport à x. Mais, comme ils comprennent tous deux une constante arbitraire, ils ont exactement le même sens.
Le résultat précédent peut être généralisé. En dérivant successivement l'éqnation (2) p,ar rapport à a et en admettant toujours que les conditions de continuité des dérivées partielles
PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATIOK 107
considérées restent vérifiées, on peut aussi conclure de l'équation (1) à la suivante
(3) |d« f\x, a) dx = D«F(.a;, a) -f C.
La règle précédente fournit un procédé commode d'intégration. En voici quelques exemples :
1° On a, pour a différent de 0,
pax
Les conditions de continuité sont remplies. Dérivons n fois par rapport à a et observons que
nous obtiendrons, par la règle précédente,
(4) .X" e«^dx = d;;^ — 4- c .
Cette intégrale a été obtenue autrement au n'' 191. 2° Soit a > 0 ; on a, comme cas particulier d'un résultat précédent (no 188),
dx I ^ ^ , r^
.,— — = — = arc tg — =• -h C.
Les conditions de continuité ont lieu. Dérivons n— 1 fois par rapport à a et observons que
« x'' + a ^ ' (x^ + a)"' nous obtiendrons, après division par ( — i)^"* (n — i) !,
Les formules (4) et (5) ramènent le calcul des intégrales proposées dans les premiers membres à des déterminations de dérivées et fournissent pour ces intégrales des expressions très condensées. Elles s'appliquent aussi bien au cas où l'on donne à a des valeurs particulières. La formule (5), par exemple, fournit un procédé pour calculer l'intégrale classique
Ç dx
igS CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES
Mais il faut effeetner les dérivations par rapport à a avant de faire a = i. Toutefois le procédé le plus pratique pour calculer cette intégrale consiste dans l'emploi d'une formule de réduction indiquée plus loin (n" 206).
193. Variabilité de forme de l'intégrale. — 1° L'intégrale d'une niôine fonction peut s'écrire sous des formes en apparence différentes. Cela provient de ce que l'on peut séparer de la constante arbitraire une constante déterminée pour la réunir à la fonction intégrale. Ainsi, au lieu de l'expression habituelle arc tg X + C, on peut donner à l'intégrale les formes équivalentes :
F4^^ ^ ^^^'^ *^' '^' ~" ^^'^ *^" i) + C = arc tg ^-^ -I- C. — r-^^ = (arc tg .v f arc tg i) -{- C -=- arc tg ^^ ; + C.
2° L'intégrale d'une même fonction peut se présenter sous des formes analytiques nécessairement différentes lorsque x varie dans des intervalles différents. Cette remarque s'applique à l'intégrale
Log(A— a)-h C.
Les quantités négatives n'aj-ant pas de logarithme réel, cette formule suppose a- > a. Si a < a, on a
M^ = - f^^- = Log (a - .V) + C.
La forme de cette intégrale change donc suivant que x est > a ou que X est < a. Afin de ne pas revenir à chaque instant sur cette distinction, nous conviendrons, une fois pour toutes, que, lorsque la valeur d'une intégrale renferme un logarithme, la quantité sous le signe logarithme sera j)rise en valeur absolue.
Exercices.
1° Par substitution :
CCS ax , ^^ f dx
sm X CCS X
= Logtg;i?-|-C,
i . , CCS rt^ , ^, c
sm ax dx = 1- C.
f dx . X ^ ^^ r xdx . , ^
-^=z = arc sm- + C. = — V»- — x'^ + C.
J\la^-xz « J\la- — x^
PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATION I99
jtgxdx=--Logcosx + C. Jo^r^^^arctg— + C.
Jl+cos^;^ ^3- ^VV2 / ji+cos.r ^=2
2° Par décomposition :
Jtg2 xdx ^tgx-x + C. jdxy ^--^
= arcsin x —Sji —x- + C.
f ^ , i/^sin6.v , sin4;i; , sin2.t' ,. \
1 COS;i;COS 2X COSi xdx =- ;;^ \r^x
\ ■ . ^ ; = ^ + ^-^^ + 2 Log tg Ar +
J sin^ ;i; cos-^ AT 2cos^;t; 2 sin^ .r
3" Par parties :
j dx arc sin x = x arc sin x-\-\li — x- + C.
1 arc sin x = x — Vi — x'~ arc sin-r + C.
J \li—x'^
C , e'^^ (sin X + a cos ;i;) , „
e^x cos ,t- </.t- = ^ — ;; h C.
40 Combinaison de diverses méthodes :
(sjx'^ — a~ ,— ; a
