I -^^ dx = V^ — a~ — a arc cos — h C

Ç dx __ ax + b Log (a cos x + è sin x)

J a + ètg;»;"' o^T^' ^ *

I X tg'^x dx = X tg X + Log cos X— h C,

{-, "''r ,. = tg (.r + arc tg i) + C.

J [X cos X — sm x)- ° V -1-' /

Ti + sin X , X , ^,

H ^'^^-^' = ^-■''tg - + C.

j I + cos ,t' 2

arc sin x dx x arc sin x , i

j arcsm.yrf;y at arc sm

^ (i— ;ir2)| Vi— '^''-

+ -Log(i-;i---^)+C.

/-gaarctg.r^,^ ga àTC tg x (^d + x)

/* x^ arc tg Arrf,v i l , , ^

J i^ï^i "^ ^^^ *ê: X [x — - arc tg x) — - Log (i + .r-) + C.

N. B. Les trois derniers exercices se ramènent à d'autres qui précèdent, le premier par la substitution x = sin 'f, et les deux autres par la substitution x = tg f.

§ 2. Intégration des fractions rationnelles.

194. Décomposition de la fraction à intégrer. — Soit à calculer l'intégrale

JF{.Y)

où f{x) et F (.y) sont des polynômes entiers à coefficients réels. Quand f{\) n'est pas de degré moindre que F{x), on commence par effectuer la division. Le quotient f{x) : F {x) se décompose en une partie entière et une fraction proprement dite. L'intégrale de la partie entière s'obtient immédiatement (n° 187) et l'on est ramené à intégrer une fraction proprement dite.

Supposons donc que l'expression à intégrer ait été débarrassée de sa partie entière et que /(.v) : V{x) soit une fraction proprement dite. Décomposons F(.x') en ses facteurs linéaires et soit

F{x)=^ix-a)Hx-bf ...

On sait en déduire (n" i44) la formule de décomposition de f{x) : F{x) en fractions simples. Soit :

k F(.v) x-a^ix — ay^ ^(.v-a)^

Sous cette forme, la fonction est préparée pour l'intégration. Nous rangeons les termes de la décomposition en deux catégories, comprenant : la première, les termes de la première colonne où le dénominateur est du premier degré ; la seconde, les autres termes où le dénominateur est de degré supérieur au premier. Il n'y a donc de termes de la seconde catégorie que si F {x) a des racines multiples.

195. Intégration dans le cas des racines réelles. — Si toutes les racines a, b,... sont réelles, tous les termes de la décomposition sont immédiatement intégrables et l'on obtient la formule d'intégration