FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES

rationnel et égal à une fraction irréductible ± p : q et 'f (x) = 0 quand X est irrationnel. Prouver : 1°) que 'f {x) est continue pour toute valeur irrationnelle de x ; 2°) discontinue pour toute valeur rationnelle ; 3°) que roscillation est égale à la fonction elle-même.

Cet exemple prouve qu'il existe des fonctions telles qu'il y ait, dans tout intervalle si petit qu'il soit, une infinité de points où elles sont continues et une infinité d'autres où elles sont discontinues.

4. On peut définir la continuité en un point et dans un intervalle (a, b) comme au n" 24, mais en ne donnant à la variable indépendante X que des valeurs rationnelles. Ceci posé, so\\.f{x) une fonction définie pour les valeurs rationnelles de x seulement, et continue pour toutes ces valeurs dans l'intervalle {a, b). Existe-t-il une fonction ¥{x), continue pour toutes les valeurs réelles de x dans l'intervalle {a, b) et qui coïncide avec/(Ar) pour x rationnel?

R. Oui, si la continuité de/(;ir) est uniforme [c'est à dire si la propriété [V du no 27 s'applique kf{x)] ; non dans le cas contraire. On le prouvera en montrant que, dans le cas de l'affirmative, /(a-) tend vers une limite déterminée F (a) quand x tend vers une valeur irrationnelle a.

i^. 4. Fonctions de plusieurs variables réelles.

28. Des variables, des fonctions et de leurs limites. — Si les valeurs que reçoit la variable ii dépendent des valeurs qu'on attribue à plusieurs autres variables .v, y,... on dit que ii est une fonction de ces variables et l'on écrit ii -- f{x, y,...)- La fonction est uniforme, ou univoque, on à détenninatioii simple , — multiforme, ou plurivoque, ou à déterminations multiples, selon qu'elle est susceptible d'une seule ou bien de plusieurs valeurs pour chaque système de valeurs de .v. y,... La fonction est algébrique ou transcendante, rationnelle ou irrationnelle, implicite ou explicite comme dans le cas des fonctions d'une seide variable.

On dit que les variables x, y,... varient dans le domaine rectangulaire D limité par les valeurs ai et ag de a-, b^ et 6„ de y,... lorsqu'on peut donner à x, y,... respectivement toutes les valeurs comprises entre ces limites et, de plus, ces valeurs-limites elles-mêmes. Les points où l'une des variables au moins prend une de ses valeurs-limites forment la frontière du domaine D. Les autres points sont intérieurs au domaine D.

Plus généralement, les variables x, y,... peuvent prendre tous les systèmes de valeurs qui satisfont à certaines inégalités de la forme F (.v, y,...) > 0 où F est continue. On dit encore,

dans ce cas, qu'elles varient dans un domaine D, défini i)ar ces conditions. Sur la frontière du domaine une des inégalités se change en égalité.

Lorsque les variables (.y, y,...) varient dans un domaine D, la l'onction f{x, y,...) peut être bornée supérieurement et inférieurement. Dans ce cas, ses bornes siipériente et inférieure et son oscillation se définissent comme dans le cas des fonctions d'une seule variable.

Ce que nous avons dit (n" 22) de ces divers éléments, dans le cas où l'on considère le partage d'un intervalle en plusieurs autres, peut évidemment se répéter si l'on considère le partage en plusieurs autres d'un domaine D.

29. Représentation géométrique. — Quand on considère deux variables .v et y seulement, leur variation simultanée se représente géométriquement par le déplacement d'un point M du plan qui a pour coordonnées rectangulaires .v et y. Le domaine D limité par les valeurs a^ et a^ de x, 6, et b^ de y est alors figuré par le rectangle dont les côtés ont pour équations .v = a^, X ^ a2 et y = b^, y = b^. Quand a: et y varient dans ce domaine, le point représentatif du système peut prendre toutes les positions comprises dans l'intérieur et sur le contour du rectangle. Par allusion à cette représentation, un système de valeurs de a: et y s'appelle un point, le système a, b le point (a, b), etc. La représentation géométrique s'étend au cas de trois variables à condition de considérer le déplacement du point M dans l'espace. Dans ce cas, un domaine rectangulaire est figuré par un prisme rectangle.

Plus généralement, dans le cas de deux variables, on peut faire varier le point a-, y dans la portion du plan limité par un contour fermé. Le domaine D comprend alors tous les points de la courbe frontière et de la région intérieure.

Dans le cas de trois variables, le point x, y, z peut varier dans un domaine D limité par une surface fermée. Cette surface est la frontière du domaine.

Au delà, la représentation géométrique fait défaut, mais il est commode d'étendre la terminologie au cas général, le point variant alors dans Vhyperespace.