INTEGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES

UfM ^ ^ ^^ ^)-(^c-a) a-i(.v-a)='-^

L'intégrale se compose d'une partie logarithmique et d'une partie rationnelle. La partie logarithmique est la somme des intégrales des termes de la première catégorie et la partie rationnelle la somme des intégrales des termes de la seconde.

196. Intégration dans le cas des racines imaginaires. — Si toutes les racines ne sont pas réelles, si, par exemple, les racines a, b,... sont imaginaires, les logarithmes qui figurent dans la formule (2) n'ont plus de sens, au moins jusqu'à présent, et nous verrons dans un instant par quoi il faut les remplacer Mais il n'y a rien à changer aux autres termes qui sont rationnels. En effet, ce sont bien des fonctions primitives des termes correspondants de la formule (1), à condition de se placer au point de vue plus général de la différentiation des fonctions d'une variable complexe. D'ailleurs les imaginaires ne jouent qu'un rôle transitoire. Il suffit de faire la somme de ces termes pour rendre à l'intégrale la forme réelle. Nous allons montrer, en effet, que, x étant réel, les imaginaires se détruisent.

Les coefficients de F(.v) étant réels, à toute racine imaginaire a correspond une racine conjuguée b du même degré de multiplicité. La loi de formation des numérateurs de la formule de décomposition montre ensuite (n° i43) que les nombres complexes Al et Bi, Ag et Bj,... sont conjugués deux à deux. Donc les fractions écrites sur la première ligne dans la formule (2), sont conjuguées des fractions écrites en dessous dans la seconde et, par conséquent, leur somme sera réelle.

Les termes de la seconde catégorie s'intègrent donc de la même façon que les racines a, b,... soient réelles ou imaginaires. Il n'en est plus ainsi pour les termes de la première catégorie. Lorsqu'il y en a d'imaginaires, il faut, avant d'intégrer, commencer par ajouter deux à deux les termes conjugués. Après quoi, l'intégration se fait de suite. Soient, en effet, a, b deux racines imaginaires conjuguées. On peut poser a = p^qi, b=p — qi A, =- M -f N/, Bj -= M — Ni,

p, q, M, N étant réels. Il vient alors, en ajoutant les termes conjugués, ce qui donne une somme réelle,

A, Bi M -h Ni M — Nf M (.v — p) — q^

X — a X — b~ X — p — qi X — p + qi~ {x — pY -\- Q^ {( Al Bi \ r^{x-p)dx C qdx

Ces intégrations ont été effectuées au n° i88. On trouve donc (3)/(^ + ^) d^^ - M Log [{X -pY 4- 9^] - 2 N arc tg'^.

Remarque. — Si l'on observe que l'on a

^ X — p Tc ^ X — p

arc tg --= arc cot -

et que — (.y — p) : q est la cotangente de l'argument de .r — p — qi ou cV — a, on voit que

arc tg ——f- =■■- + arg. (x — a).

Comme on peut négliger le terme constant, on obtient pour l'intégration des termes conjugués la formule pratique suivante :

J ( x — a "^ ^'^^J-j ^^^ ^ ^^^ ^^8- I A' — a I — 2X arg {x — a) = Log. I a; — a I ^m— arg. {x — af^

Sous cette dernière forme, la formule a l'avantage de se prêter immédiatement à la réduction des termes semblables (une somme d'arguments étant égale à l'argument du produit des nombres).

De là, le théorème fondamental suivant :

197. Théorème. — Toute fonction rationnelle s'intègre par les fonctions élémentaires. L'intégrale se compose généralement d'une partie transcendante et d'une partie rationnelle. La fraction à intégrer étant débarrassée de sa partie entière, la partie rationnelle provient de l'intégration des fractions simples de la seconde catégorie ; elle n'existe que si le dénominateur, F(.v), a des racines multiples. La partie transcendante provient de l'intégration des fractions simples de la première catégorie ; elle se compose exclusivement de logarithmes si F{x) a toutes ses racines réelles ; elle peut, en outre, comprendre des arcs tangents (ou des arguments) s'il y a des racines imaginaires.

INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES 2o3

198. Calcul direct de la partie rationnelle de l'intégrale. — La méthode exposée dans les numéros précédents suffit déjà pour effectuer en pratique l'intégration des fractions rationnelles. Mais, dans le cas où l'intégrale a une partie rationnelle, elle ne conduit pas aux calculs les plus simples. En effet, la détermination des numérateurs de la formule de décomposition est laborieuse dans le cas des racines multiples, surtout si elles sont imaginaires. La méthode que nous allons indiquer et dont le principe est dû à Hermite, permet de trouver directement la partie rationnelle de l'intégrale et d'achever le calcul par l'intégration d'une fraction rationnelle dont le dénominateur n'a plus que des racines simples. La décomposition se fait alors très simplement par la formule de Lagrange (n° i45). Cette méthode repose sur les considérations suivantes :

La somme des termes de la première catégorie dans la formule de décomposition (l) est une fraction proprement dite X : P, où

D'autre part, la somme des termes rationnels dans le second membre de la formule d'intégration (2) est une fraction proprement dite Y : Q, où

(5) q==(x-a)^-'{x — b)^-'"- La formule d'intégration (2) devient ainsi

p dx.

Dans cette formule, Y : Q et X : P sont des fractions proprement dites et le polynôme P n'a que des racines simples. Je dis qu'une décomposition qui possède ces caractères n'est possible que d'une seule manière.

En effet, si l'on avait deux décompositions semblables, à savoir

Y , fX , Y, , fXi ,

on en déduirait, par dérivation, la relation équivalente