V.Q Qi^ Pi p

Supposons qu'on remplace chacune de ces quatre fractions par une somme de fractions simples ; ces fractions simples se détruiront dans chaque membre séparément. En effet, comme la dérivée d'une fraction simple est une fraction de la seconde catégorie, le premier membre ne contient plus après la dérivation que des fractions de la seconde catégorie, tandis que le second n'en contient, par hypothèse, que de la première. Ces fractions doivent donc se détruire, car la décomposition en fractions simples est unique. On en conclut

c'est-à-dire que les deux décompositions sont les mêmes.

D'après cela, on peut déterminer directement Y : Q et X : P par la méthode des coefficients indéterminés. En effet, dérivons la formule (6) ; il vient

Le polynôme Q, défini par la formule (5), est le plus grand commun diviseur entre F et sa dérivée et s'obtient par des calculs rationnels. Le polynôme P, défini par la formule (4), est le quotient de F par Q et s'obtient aussi par des calculs rationnels. Les deux polynômes P et Q étant connus, on remplacera dans la formule (7) X et Y par des polynômes à coefficients indéterminés, de degré immédiatement inférieurs à ceux de P et de Q respectivement. En effectuant la dérivation indiquée et en multipliant la formule (7) par F ^ PQ, il viendra

/•(A') = PY'-Y^4-QX.

On voit de suite, Q'P étant multiple de Q, que le second membre est un polynôme de degré immédiatement inférieur à celui de F. Eu égalant les coefficients des mêmes puissances de X dans les deux membres, on aura le nombre d'équations linéaires nécessaire et suffisant pour déterminer les coefficients inconnus de X et de Y.

Remarque. — La méthode précédente permet de trouver la partie rationnelle de l'intégrale sans résoudre l'équation F(.v) = 0.

INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES 2o5

Elle met immédiatement en lumière un fait important. C'est que la partie rationnelle de l'intégrale est rationnelle non seulement par rapport à la variable x, mais aussi par rapport aux coefficients de f{x) et F(.\-). Cette même remarque s'applique à la fraction X : P, qui reste à intégrer pour obtenir la partie transcendante de l'intégrale.