Exemple. — Soit à intégrer

Puisque ¥{x) a des racines multiples, l'intégrale a une partie rationnelle. On la détermine par la méthode du numéro précédent. Le polynôme Q de la théorie générale s'obtient en dimmuant d'une unité l'exposant des facteurs simples de F(,r) ; il est égal à x^ — i. Donc P est aussi égal à. x^ — i. Les polynômes inconnus X et Y sont, par suite, du second degré. On pose donc

Ç dx ax^ -\-bx -{- c Ç ex- -\-fx -h g ,

on dérive et on chasse les dénominateurs. Il vient

• I = (;i;3 i) (2a,r + b) — 3^-- {ax' -\- bx -\- c) + {x^ — i) ( ex'^ -\-fx + g).

L'identification des deux membres fournit le système d'équations :

d'où l'on tire les valeurs des coefficients inconnus :

On a donc

r ^^ I X 2 Ç dx

^' ]{x' — iY~'~Zx^ — i~z)x^ — i'

Le calcul de la partie transcendante de l'intégrale exige la détermination des racines àe x^ — i» qui n'a plus que des racines simples a, b, c, ayant pour valeurs :

Les coefficients de la formule de décomposition x^ — I X — a X — b X — I

se calculent par la règle du no 145. La dérivée àe x^ — i étant 3x^, et a^ étant égal à i, on a de suite

3fl2 3 6 3

On trouve, par la formule (3),

( dx I T , ., I 1 ^ V3 ^ 2X-}- i

+ ^Log(;ir-i) + C.

Portant cette valeur dans (8), il vient enfin

Ç dx IX , 2\/5

Exercices.