Démontrer les formules suivantes

r {X- - X -\- 2) dx ^i {x -\r i)^ {X - 2)

Ç x^dx I a; — I Vs , •^' , /-

1^^ ^ J. Log '■+t''+" + n! + ^ arc tg ^ + C.

2. Soit/(;i;) un polynôme de degré < » ; démontrer la formule

R, C'est une application de la méthode de dérivation (n» 192). On intègre par rapport à x, puis dérive 11 — i fois par rapport à « la formule

où P{x, a) est un polynôme en a de degré < n.

3. Soit f{x) un polynôme de degré < 2 n. On le met sous la forme <f{x-) -\- x'\ {x-) où 'f et 'i> sont des polynômes en x-. Soit a > 0 ; on a

R. Solution analogue à la précédente.

INTEGRATION DES IRRATIONNELLES ALGEBRIQUES 207

§ 3. Intégration des irrationnelles algébriques.

200. Rationalisation et réduction. — On a vu, dans le paragraphe précédent, que les différentielles rationnelles s'intègrent par les fonctions élémentaires. Il n'en est plus ainsi pour les différentielles irrationnelles que dans des cas particuliers. Lorsque cette intégration est possible, elle se fait généralement par l'un des deux procédés suivants : i° ou bien on rend la différentielle rationnelle par une substitution, ce qui ramène au cas précédent ; 2° ou bien on établit une formule de réduction qui fait dépendre l'intégrale cherchée d'une autre plus simple, celle-ci d'une autre plus simple encore, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive à une intégrale connue. Nous rencontrerons d'abord des applications de la première méthode.

201. Différentielles où figurent des exposants fractionnaires. — Théorème. Si a, b, c, (sont des constantes quelconques ; a, (3,... des exposants rationnels et R (x, y, z,...) une fonction rationnelle de X, y, z,..., l'intégrale

est réductible par une substitution rationnelle à celle d'une différentielle rationnelle.

Soit m le plus petit commun dénominateur des fractions a, |3,... et ? une nouvelle variable ; la substitution

S^t^,= ("., d'où cc^ftTL-^^.^t)

ex + f a — ct"^ '^ ^ '

rendra la différentielle rationnelle. En effet, l'intégrale devient ainsi

Tr \ç{t), P^^, P^^,..?\ p'{t)dt

et la différentielle sous le signe ("est rationnelle, car p(f) et, par suite, p'(f) sont des fonctions rationnelles de t et les exposants ma, ni{i,... sont entiers. On intègre par les j)i'Océdés du paragraphe précédent et l'on revient, s'il y a lieu, à la variable X par la substitution

ax 4- b cx~-\-f

2o8 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES

Dans les applications, on rencontre souvent le cas où la fraction (a.v + b) : {ex + /) se réduit à la variable a' elle-même ou à une fonction linéaire de x, comme dans les exemples suivants :

Exemples. Par la substitution -v = t*\ il vient

r dx ^fPdi r r dt

= 6t— Zt- + 2/3 — 6 Log (i + 0 + C

= 6;jr6— 3Ar3+2A;2 — 6Log(i+;ïM + C.

Par la substitution x — i = /-, il vient

= 2sjJ^i^^^^+\{x-ir + x'\^ +c.

202. Différentielles qui renferment la racine carrée d'un trinôme du second degré. — Soit R (a-, y) une fonetion rationnelle de x et de y ; si l'on y fait

y =\/a -\- bx -\- cx^, l'intégrale

\n{x,y)dx

est réductible par une substitution rationnelle à celle d'une différentielle rationnelle.

La transformation doit être choisie de manière à éviter l'introduction des imaginaires quand les données sont réelles. On y arrive par l'une des deux substitutions suivantes :

1° Si les racines a et ^ de (a -\- bx -{- ex'-) sont réelles, la substitution est fournie par le théorème précédent. En effet,

y =^Vc(oc-a)(A-iy== {X - a)^/^^.

Donc y et, par suite, R {x, y) sont des fonctions rationnelles de A- et de ce dernier radical. La rationalisation se fera par la substitution

2° Si les racines de (a + 6a + cx'^) sont imaginaires, c doit être positif pour que le radical soit réel, sinon le trinôme.