INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGEBRIQUES

ayant le signe de c, serait négatif et sa racine imaginaire. Donc, quand les racines sont imaginaires et, plus généralement, cjuand c est positif, on peut faire la substitution

Va + bx + cx^ = t ± x\Jc, d'où, en élevant au carré,

a + bx = t- ± '2tx\Jc.

Cette relation est linéaire en x. On en tire donc, p(f) désignant une fonction rationnelle,

X ^ p {t), dx = p' (0 dt y - f ± p (0 V<^ On substitue ces trois valeurs dans l'intégrale et la différentielle à intégrer est rendue rationnelle. Après l'avoir intégrée, on remplace t par sa valeur

^ = \/a + bx -f c.v2 t ^y^/c.

Autre substitution. — Lorsque a est positif, la seconde substitution s'appliquera, après avoir remplacé x par -, car

va + bx -f ex'

\/az-' + bz + c

et le coefficient de z- sera positif, La différentielle devient donc rationnelle par la substitution

\/az^ -\- bz + c = t ± z\/a, ce qui revient à poser directement

V'a -\-~bx~^ cx^ = itVâ + tx.

Quand a est positif, cette dernière formule définit une troisième substitution rendant la différentielle rationnelle.

Remarque. — Un autre procédé d'intégration consiste à transformer R(.v, y) c/a; dans une différentielle rationnelle en sin t et cos t. Nous y reviendrons au n° 2x5.