IV. Les deux intégrales suivantes
dx C dx
Jva +
bx + cx^ J (x — m)\la -\- bx -\- ex-
se ramènent à celles qui précèdent en prenant respectivement comme nouvelle variable
z =\J ± c X ou z=\^±c{x — m). On choisit le signe ambigu de manière que ± c soit positif.
204. Cas dintégrabilité des différentielles binômes. — Les intégrales des différentielles binômes sont de la forme
\x''^{ai-bx'^)Pdx,
où a et b sont des constantes quelconques, différentes de zéro, et m, n, p des exposants rationnels.
Faisons la substitution
A-» = t d'où X ■-= t" dx =-- - r
dt
l'intégrale devient
Désignons par q l'exposant de t, de sorte que q = f^^-i) L'intégrale prend la forme Himjdifiée
'f(P,<l)- ({il ^ bi)i't"
di.
Théorème. — L'intégrale 'f{}K q) est réductible à celle d'une différentielle rationnelle par le théorème du n" 201, si l'un des trois nombres p, q ou p -{- q est un entier, positif, nul ou négatif.
En effet, soit II une composante rationnelle ; on met f{p, q) sous la forme prévue au n° 201 en écrivant : si p est entier,
?iP,q)= \'R{t,t^)dt; si q est entier,
o(p,f/) = JR \^{a+ bt)P, t'jdt; et, si 7> + ^ est entier,
Remontons maintenant à rintégrale primitive, et observons que q = ^^^^-*> nous obtenons l'énoncé suivant :
Théorème. — L' intégrale d'une différentielle binôme est réductible à celle cVune différentielle rationnelle et, par suite, l'intég-ration se fait par les fonctions al g-ébriques, logarithmiques
et circulaires, si l'un des trois nombres ou p ou [-p
est entier.
Tcliebiclief a démontré (*) que, en dehors de ces trois cas d'intégrabilité pratique, l'intégrale ne peut pas s'exprimer au moyen des fonctions élémentaires. On devra donc alors se borner à la ramener à la forme la plus simple en se servant des méthodes de réduction que nous allons indiquer.
205. Formules de réduction des intégrales de différentielles binômes. — Supposons l'intégrale préalablement ramenée à sa forme simplifiée :
o{p,q)-^- ({a-\-bt)i'tUlt.
Théorème. — Sauf les cas d'intégrabilité pratique, ^{p, q) est réductible à des fonctions algébriques et à une autre intégrale de même forme où chacun des exposants p et q est augmenté ou diminué d'autant d'unités qu'on le veut.
{*) Sur l'intégratiou des dilïérentielles irratiounelles. Journal de Liouville T. XVIII. i853.
INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGÉBRIQUES 2l3
Considérons, en effet, les deux identités :
(a + bt) (a + ^0 Pt'i = a{a + bt)P ti + /? (a + ht) p f«+S J).{a-\-bt)P+* t9+^ = {p + i) Z> (a -h ^0^ ^''+' + (^+ 1) (a-l-/>0^+* t'' • En les intégrant (ce qui revient à une intégration par décomposition et une autre par parties) on obtient respectivement :
«p(/j + I, g) = a'f{p, q) + b o(p q -f i), (a + [)t)P+i f^+i ^ (;, + i) /> cp(/;, g -I- i) + (^ 4- i) cp (;; f I, q).
Entre ces deux équations, on peut éliminer (f(/> + i, ry) ou bien o{p, q -\- i). En résolvant alors par rapport à 'f{p, q), on trouve les deux formules :
/ix / X {a-^bt)P+'t<i+\p + q -^2 , , ,
(1) a cp(7>, q) = - "^ ^^ + '^~^-^{V V 1, q),
/ox / X (a + bt)P+' t9+^ ,p + g + 2 . , ,
Ces formules font dépendre '^{p, q) d'une intégrale de même forme, mais où p ou q est augmenté d'une unité. Les deux formules suivantes, qu'on en déduit enrésolvant les précédentes par rapport aux intégrales des seconds membres, mais en remplaçant/; par;; — i dans la première et f/ par q — i dans la seconde, à savoir :
/ox / X (a + bt)Pt'i+^ , ap ,
tA\ T , X {a + bt)P+H^ aq , ,
font dépendre <p(/J, q) d'une intégrale de même forme, mais où p on q est diminué d'une unité. Aucune des quatre dernières formules ne peut devenir illusoire, car, aucun des nombres p, q,p -\- q n'étant entier, aucun des dénominateurs p -\-i, q\- i, p -\- q -\- 1 YïQ peut être nul.
L'emploi des formules (1), (2), (3), (4) permet donc d'augmenter ou de diminuer d'autant d'unités qu'on le veut un des deux exposants p ou q, sans toucher à l'autre. On pourra donc, de proche en proche, faire dépendre œ {p, q) d'une autre intégrale de même forme, mais où p et q seront comjDris entre deux entiers consécutifs choisis à volonté, par exemple 0 et i. Comme celle-ci n'est plus susceptible de réduction ultérieure, on la considérera comme une nouvelle transcendante.
206. Usag-es des formules de réduction dans les cas d'intég-rabilité pratique. — Dans les cas d'intégrabilité pratique, les foriiuiles de réduction peuvent devenir illusoires. Mais cette éventualité ne se présente que pour des valeurs exceptionnelles de p, q et les formules peuvent servir à l'intégration. Xous allons en donner des exemples.
Xous pouvons toujours supposer, dans les cas d'intégrabilité, que ce soit l'un des exposants />> ou q qui est entier. En effet, si p + q était entier, on ferait la substitution f =-= i : z et l'on aurait
^{p,q)^— U-P-5-2 (^Jj | ^^^) p (/2,
ce qui ramène au cas précédent.
Supposons, en premier lieu, que p et q soient entiers tous les deux : je dis qu'on pourra les réduire tous les deux à l'une des valeurs 0 ou — i. En effet, si />», q sont négatifs tous les deux, on les ramène à — i par l'emploi des formules (1) ou (2), qui ne deviennent illusoires que si /; + i = 0 ou si r/ -|- i = 0. Si un seul des exposants p, q est négatif, on commence par le réduire à — I ; après quoi on abaisse l'autre à zéro par les formules (3) ou (4), Celles-ci ne seront pas illusoires, car p -}- q -^ i ne s'annule pas au cours de la réduction. Enfin, si p, q sont tous deux positifs, les formules (3) et (4) permettent de les réduire tous deux à zéro. Dans ces divers cas, le calcul de l'intégrale réduite sera devenu immédiat.
Supposons, en second lieu, qu'un seul des exposants p, q soit entier. Les formules ne deviennent illusoires que pour réduire l'exposant entier de — i à 0. Elles pourront donc servir à le réduire à 0 s'il est positif, et à — i s'il est négatif. Dans le premier cas, l'intégration sera immédiate. Dans le second, elle sera simplifiée, mais devra s'achever par rationalisation.
Exemples : I. Considérons l'intégrale de différentielle binôme
dx
où p est entier et positif. Par la substitution x = \/t, il vient
INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGÉBRIQUES 2x5
Donc l'emploi de la formule de réduction (1) permet de réduire l'exposant/» à i. Il vient ensuite, ce qui termine le calcul,
t ~dt r dx ^ , ^
/ — r^ = 2 — , — 5- = 2 arc tg ;»r + C. (1+^) } i+x-
II est clair d'ailleurs que la formule (1) peut s'exprimer directement au mo3'en de x. On trouve, en y remplaçant t par x- et divisant par 2, la formule de réduction suivante, qu'il est facile d'établir directement :
Jdx ^ I X \^P — ^ C ^^
II. Considérons l'intégrale de différentielle binôme i' x'^dx
J\Ji— x-
dans laquelle m désigne un entier positif ou négatif. Par la substitution x^ = ^, on a
Suivant que m est positif ou négatif, on se sert de la formule (4) ou de (2). Elles permettent de ramener l'exposant — ^ — à la valeur — ^ si m est pair, et à l'une des valeurs 0 ou — i selon que m est impair positif ou négatif. Alors m a une des valeurs 0, i et — i. En revenant à la variable x, on aura à calculer une des trois intégrales :
Ç dx Ç xdx Ç dx
J \/i — x^ Jsji—x^ J x\]i —x^
qui ont pour valeurs (n» 2o3), à une constante près,
arc sin x, — Sji — x^, Log
i-Vi-
III. Dans la théorie du pendule, on rencontre l'intégrale i X^dx
J \Jax — X-
Ce n'est plus une intégrale de différentielle binôme, mais on la ramène, à son choix, à l'une ou à l'autre des deux intégrales de différentielle binôme (I) ou (II) par les substitutions :
X =^ at^ ou Sjax — x- = xz. On trouve, après quelques réductions faciles, C x"^dx C i-"'dt
Ç dz^
J\ax—x'^ J\Ji — t-
ce qui ramène aussi l'une à l'autre les intégrales (I) et (II).
2l6 CHAPITRE Y. INTÉGRALES INDÉFINIES
207. Cas particuliers simples des intégrales de différentielles binômes,
— Parmi les cas d'intégrabilité pratique de l'intégrale a{}), q), il y en a trois que l'on peut considérer comme des cas d'intég'vabilité facile. Ce sont ceux où l'un des nombres p, q ou
— (7^ + ^ + 2) est entier positif.
En effet : 1° Si p est entier positif, on dévelopi)e (a -j- bt)^ par la formule du binôme et l'intégrale
{{a ■\- ht)P tJ dt
se calcule par décomposition. 2" Si q est entier, on prend a -\- bt pour variable, ce qui ramène au cas précédent. 3" Si p ~\- q + est entier négatif, la substitution t = i : z ramène au cas que nous venons d'examiner. Dans ces divers cas, l'emploi de la formule de réduction sera donc rarement avantageux (*).
Exercices.
