Intégrales à calculer par le théorème du n

dx I ^ X\j2 , „

^=^ = —-= arc tg --=±= + C

(i + x^)\Ji —x^ V2 Vi — '^'^

dx .^^Tn.VL+^!+^ + r.

(I — X-')\/l + .V- \/2 Vl + '^'-

dx Vi + '^ — -1-'- — (i + '1-') 1 ^ -2arctg-'^ — \-C.

ii-{-x)\/i-{-x — x^ 3. Différentielles binômes à intégrer

x^dx x(x^ — 3} 3 . , ^

— - arc sm x + C

A- (« + .r2)"3 dx -= -f {a+ x-^)^(x^^ ^ ) + C

(*) L'exemiîle II du numéro précédent rentre dans le troisième cas d'iiitégrabilité facile si m est i^air et négatif.

INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES ÎÎ!"^

4. Montrer que toute différentielle binôme x'" (a + bx" )^dx peut, à part un facteur constant, se ramener à la forme ([^ et v rationnels)

sinî'^cf cos'' «prfcp.

R. On y arrive par les trois substitutions suivantes, dont l'une au moins est réelle :

a-\-bx" I

= cos^ cp ou ^~ ou — tg-Cû,

a cos-'f

§ 4. Intégration des fonctions transcendantes.

208. Rationalisation. — Un grand nombre de différentielles, qui renferment des fonctions exponentielles et circulaires ou leurs inverses, peuvent être rendues rationnelles par une substitution de variables, c'est-à-dire qu'elles prennent la forme

R(u)dH,

où R: désigne une ronetion rationnelle. Les substitutions qui conduisent à ce résultat sont immédiatement apparentes dans les différentielles suivantes :

R (e^ ) e^ dx, R (Log x) '-^, R (arc tg x) ^^^ ;

ce sont respectivement :

e^ = u, Log .V =■ u, arc tg x =^ u.

Mais on peut rendre rationnelles des différentielles pour lesquelles la substitution convenable est moins facile à apercevoir et nous allons en examiner quelques types généraux.

209. Intégration de R (sin .y, cos .v) f/.v. — Suivant le cas, quatre substitutions principales rendent rationnelles les différentielles de cette forme où R désigne une composante rationnelle :

I. Si R est une fonction impaire de cos x, c'est-à-dire une fonction qui ne fait que changer de signe quand on y remplace cos A- par — cos a-, on rend "Rdx rationnelle par la substitution

sin X ^ z.

En effet, le quotient R : cos x, ne cliangeant plus de signe, ne contiendra plus le cosinus qu'au carré et sera, par couse-

qiient, nue fonction rationnelle, R,, du sinus seul. On aura donc

R = R 1 (sin x) cos x, et, par la substitution proposée,

Rf/.v = Ui{z)dz.

II. Si E, est une fonction impaire de sin x, on rend Hdx rationnelle par la substitution

cos X ^ z.

On a, en effet, par le raisonnement analogue au précédent,

E = R, (cos x) sin x, R dx = — R^ (s) dz.

III. Si R (sin x, cos a;) ne change pas quand on remplace à la fois sin X par — sin x et cos x par — cos x, on rend B.dx rationnelle par la substitution

tg X = z.

En effet, remplaçons, dans R, sin .y par cos x tg x. Nous formons une fonction du cosinus et de la tangente que le changement de signe du cosinus n'altère plus, qui ne contient donc le cosinus qu'au carré. C'est donc une fonction rationnelle, Rj, de la tangente seule, car cos^a: peut se remplacer par i : (i+tg^A;),

et l'on a

dz R dx = R , (tg X) dx = B., (z) — ^— .

IV. Dans tous les cas, on rend R (sin x, cos x) dx rationnelle par la substitution

, X z = tg -.

On a, en effet, en fonction rationnelle de z,

22 I — z^ , Q.dz

sin X = — , — r-, cos x --= — j — 5-, dx = — , — r.

Remarques. — La dernière substitution peut toujours être évitée. En effet, si l'on décompose R comme il suit :

2 R dx = [R (sin x, cos x) -f R ( — sin x, — cos x)] dx -4- [R (sin X, cos x) — R ( — sin x, cos x)] dx

+ [R ( — sin X cos x) — R ( — sin x, — cos x)] dx,

chacun des termes écrit sur une ligne peut être rendu rationnel

par une des trois premières substitutions : le premier par la substitution ITI; le deuxième par la substitution II ; le troisième par la substitution I.

On rencontre souvent des différentielles renfermant d'autres lignes trigonométriques que sin .v et cos x, comme tg x, sec .v, etc.. On commence par exprimer rationnellement ces nouvelles lignes au moyen de siu .\- et de cos x, après quoi les théorèmes généraux s'appliquent.

Dans d'autres cas, la différentielle renferme, outre sin x et cos X, des sinus et des cosinus de multiples entiers de .x; comme sin 2.x, sin 3x, cos 2.x, etc. On les exprime par des polynômes en sin x et cos -x et les méthodes générales s'appliquent.

Enfin, si la différentielle renferme sin aA', sin (3x, cos y.x, etc., a, [3, y... désignant des nombres rationnels dont m sera le plus petit commun dénominateur, on pose x = mz, on prend z comme nouvelle variable et on est ramené au cas précédent.

Applications. — I. On trouve, par les substitutions (1) ou (II), l'coHxdx . , ,, fsinxdx

sin A' cos A' dx =■ ~ sin^A -}- C = cos' a |- C;

par la substitution III,

—■ = Log tg A + C ;

j Sm A cos A & fc. 1 '

par la substitution (IV),

r4^=Logto-^'+c,

j sm A ^ * 2 ^ '

et, en remplaçant a par( a -j — ),

|^ll3 = ^°ë*8(f i-j