III. On ramène à la précédente l'intégrale

a -\- b COS x-\-c sin a-' en déterminant deux quantités r et z, par les relations

b ^ r COS (f, c -^ r sin 'f ;

l'intégrale devient

r dx

J a -{- r COS (a; — œ)

et sa valeur s'obtient en remplaçant b par r et x par a; — o dans la précédente.

210. Intégration de sin *"a' cos "a; dx. — Si m et n sont entiers, cette différentielle est un cas particulier de celle du n° précédent. Elle peut donc être rationalisée par les substitutions

indiquées. Nous allons d'abord attirer l'attention sur cinq cas dans lesquels l'intégration est facile par ces substitutions. Les trois premiers ne supposent pas que m et n soient entiers tous les deux.

Cas d'intégrabilité facile. — Voici d'abord quatre cas où l'intégration est immédiate par décomposition en développant la puissance d'un binôme tel que (i — 0-). On suppose k entier et positif :

1° m = 2A- + I, on pose cos x = z, d'où

\ sin ^x cos ".X dx==— J(i — z-)f'z'Hlz ; 2° /i = 2A' + i, on pose sin a' = z, d'où

J sin "^x cos 'Kx dx = jz"» (i — z-)'' dz ; 3" m -f n = — 2A-, on pose tg a* -= t ou cot .v = 11, d'où j sin "'.Y cos «A- dx = J V» (i f t^)''-' dt =^ — j ««(i + 11')''-' du ;

4° n = 0 et m = — 2A- — i, on pose tg - = s, d'où

r dx I ;-(i +z'y^dz^ I cf lIY''—

J sin-'^^+f X ~ 22ft J s'^'î+i '2^^ ^V'^ zj 2 •

Considérons encore un 5*^ cas où la décomposition se fait autrement :

5*^ Si m + /î = 0 {m entier) les substitutions du cas 3° donnent

r , f V'^dt C "" du

Jt8».,v./,v=J-^==-J--^.

Si c'est m qui est positif, on effectue la division de t^ par 1 -{- t^ et chaque terme est immédiatement intégrable. Dans le cas contraire, c'est u" qu'on divisera par (i + 11^).

Formules de réduction (*). — On a

J sin'" A- cos" a; dx = J sin"'-^A (cos" a sin a dA) ;

(*) La diflerentielle siu »'oc cos ".v dx se transforme à un facteur numérique pi'ès dans la différentielle binôme

ni+ 1 n—i

t 2 (^i — t) 2 dt

par la substitution sin .v =V^~Les formules de réduction établies ici ne sont que les transformées de celles relatives aux différentielles binômes.

222 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES

d'où, en intégrant par parties, la formule (1) :

sin"'-i.vcos"+*A; m — i

sin"':vcos".YaA'= ^^—^ — ; \-z^, — | sin"*~-A:cos"+-Ard.v

sin^'+^.v cos"~ ^x dx

D'autre part, si l'on fait porter l'intégration sur le sinus après avoir isolé un facteur cos x, on a la formule (2) :