C . -, „ j sin"*-*A;cos"+* x , m — i i

sin"'cos" A' dx=-^ J sin"'--A"cos" x dx.

J m + n m -^nj

Opérons de même sur l'équation (2), mais en remplaçant un facteur sin-rc par i — cos^a, nous obtenons la formule (4) :

/" sin'>»+*A'cos"-' A^ , n—j ''

sin'"A'cos" A'dA:

— - — sin"'A' cos^r-Ac/A m-\-nj

Enfin, changeons m en m + i dans la formnle (3) et n en /i + 2 dans la formule (4) et résolvons chacune des deux formules par rapport à l'intégrale du second membre. Xous obtenons les formules (5) et (6) :

r • ., « J sin'^^+iACOS^+i A , m+n-f 2 r . ,, ^., „ ,

sin"\vcos»^vdA;= , — sin'"+-Acos"AY/A

r • r, n ; sin^'+iACOS«+lA , m+/l + 2 f . ,,„ „ , ,

Sin"'ACOS'^At/A= ^ 1 :~ S111'»AC0S'*--Af/A

j n -\- \ n-t-ij

Si m et n sont entiers, l'emploi combiné des quatre dernières formules permet d'effectuer l'intégration dans les diverses hj'pothèses possibles.

En effet, ces formules permettent de diminuer ou d'augmenter de deux unités un des deux exposants sans toucher à l'autre. Par la répétition de cette opération, on peut donc ramener les deux exposants à l'un des trois nombres — i, 0 ou i. Seul le passage de — i à + i ne peut se faire, le dénominateur des formules s'annulant dans ce cas. Quand la réduction des exposants est faite, l'intégration est immédiate ou très facile.

Les deux premières formules serviront aussi avec avantage si les deux exposants n\ et n sont de signes contraires, car elles

permettent de réduire les deux exposants à la fois jusqu'à ce que l'un d'eux soit ramené à — i, 0 ou i. Après cela, la réduction doit se continuer par les autres formules.

Intégration par décomposition. — La méthode que nous allons indiquer est applicable chaque fois que les deux exposants 771 et n sont entiers nuls ou positifs. Mais la méthode de rationalisation est plus expéditive, sauf peut-être si 777 et n sont pairs tous les deux.

Cette méthode consiste à décomjDOser, par les formules de la trigonométrie, cos"x en une somme de cosinus de multiples de X et sin^^Y en une somme de sinus ou de cosinus de multiples de X (*). En effectuant la multiplication, on trouve des produits partiels, qui se décomposeront eux-mêmes par les formules :

sin \x cos jji. 5C = - sin (X -\- u.) x + sin ()> — [jl) .y

cos \x cos ]xx^ - cos (A + \k) X + cos (À — fx) X et ces nouveaux termes s'intègrent immédiatement.

(*) Ces formules se déduisent l'aeilement de celle de Moivre. Ou part de

l'identité

2 cos .V = (cos a: -f- i sin x) -f (cos a- — / sin x).

On élève à la puissance n par la formule du binôme, mais en ayant égard aux relations

(cos a; + / sin x)P = cos px -\- i sin px. (cos x -\- i sin x) (cos x — / sin .v) = i. Il vient facilement

2« cos« .v = (cos nx -\r i sin nx) -{- n [cos (n — 2) .v -\- i sin [n — 2) x]

+ ^'-^-^ [cos (n — 4) ^- + i sin (n — 4) a-] + ...

En négligeant les termes imaginaires, qui se détruisent, on trouve l'expression cherchée pour cos« .v :

2« cos^ X = cos nx -{- n cos (n — 2j a; -| ^—^ ^ cos(/i — 4)+-v

Les coefficients sont ceux du binôme, de sorte que les termes à égale distance des extrêmes sont égaux dans cette formule.

Le développement analogue de sin» a- se déduit du précédent, en y changeant A- en A' -f TT : 2. Il est de l'une des deux formes suivantes, suivant que n est x)air ou impair :

2« sin'î A- ^= (— i)^ [cos/JA-— n cos {n — 2) a' -\-—~p— cos (n — 4) a- — ,..

an sin>î a; = (— i) 2 [sin /kv — « sin (/( — 2) a- -] ^-; ^ sin (n — 4) .v — ...

Dans les deux cas, les termes à égale distance des extrêmes seront encore égaux.

Lorsque m et n sont pairs tons deux, le procédé de décomposition suivant, qui ne demande aucun effort de mémoire, est commode en pratique. Soit m = 27), ii = 2q :

i*^ Si p est ^ q, on écrit

/i — cos2.vA ^""5/^ sin2A.'\^<?

sin2^' xcos'i X =-- sin^i' .^(siu.vcos^')'* = j^ j__ca)s a j f siii2a j

(i — cos 2.x) ^-^sin^Q' 2x

2° Si p est < g, on écrit

/'sin2A;^2^ /i-l-cos'>v\5~^ sin''^^^ occos^^ A' = (sin.vcos.v)2i' cos^s-^^.v = ( -^^ j ( ^^^ j

(sin 2xYp{i + cos 2.v)^-^ " 2^+3 '

On développe par la formule du binôme en une somme de termes de la forme sin ' 2^ cos^2A', mais où "a + l^ ne peut surpasser p+(/. Ceux où l'un des exposants a ou ;jl est impair rentrent dans un cas d'intégrabilité facile. Les autres termes se décomposent par le même procédé en éléments de la forme sin'''4A"Cos^4-^\ On continue ainsi de suite jusqu'à ce que tous les termes s'intègrent. La réduction marche rapidement, puisque la somme À f ij. des exposants est réduite au moins de moitié à chaque nouvelle décomposition.

211. Intégration de E{x)e'"'dx. — Cette différentielle, dans laquelle E (x) désigne un polynôme, s'intègre le plus facilement par la formule d'intégration par parties. On a

j*E ( A-) e"^ dx =- - E (a-) e''^ — ^\E' (a) e"'-^ dx .

Cette formule fait dépendre l'intégrale proposée d'une autre de même forme, mais où le degré du polynôme est abaissé d'une unité. C'est une formule de réduction. En l'appliquant de proche en proche, il vient

Cette formule s'arrête d'elle-même quand les dérivées deviennent identiquement nulles.

Remarque I. — Il existe une expression symbolique utile de l'intégrale précédente. Décomposons-la en une somme d'autres.

ne renfermant qu'un seul terme du polynôme E(x). Chacune de celles-ci s'intègre par la formule symbolique (4) du n" (192) ; on a ainsi, pour n = 0, 1, 2, 3....,

Si l'on multiplie chacune de ces formules par le coefficient de 5c" dans E (x) et si l'on fait leur somme, on trouve l'équation suivante, remarquable par sa concision :

\¥4x)c---dx = J^{l)af~-\-C.

Remarque II. — On ramènerait à la précédente les différentielles des n"s 212, 2i3 et 214 en remplaçant les lignes trigonométriques par des exponentielles imaginaires, au moyen des formules d'Euler données à la fin du volume, mais nous écartons cette méthode pour le moment. Elle serait cependant la plus simple.

212. Intégration de E (.v) sin a.v dx et de E (x) cos ax dx. — Ces

différentielles, dans lesquelles E(.'v) désigne encore un polynôme, s'intègrent par parties et s'obtiennent par un calcul analogue au précédent. Une première intégration par parties donne

I E (.y) cos ax dx -= E(a-) ^^ "- E' (a;) sina.v dx,

i E(.v)sinaA-d.Y = — E(a-) — ' ^ + - E'(A')cosaAf/.v.

Ces deux formules ensemble fournissent une méthode de réduction. En les employant alternativement, il vient :

Tt^/ X , sinaA;r^, , VJ'{x)^W^x) 1

J E (A-) cos aA: dx = - [E (^v) ,^+ — ^ J

cosaA-rE'(A;) E'"(a;) W {x)

+ — ^^ -^^ rV^ +

r-n^/ \ • / sinaA;rE'(; E(a-) sin a A- dx =- — ^

sin aA; f E '{x) E"'(a) EV(a-)

213. Intégration de a*" e"^ eos bx dx et de .v«e«^ sin bx dx.

On a

d{e^^ cos bx) = e«^ (a cos t.v — b sin 6a;) d^c,

(/(e^'^ sin bx) = e«^ (Z? cos bx + a sin bx) dx.

On en tire

a c? (e"^ sin fc.v) — bd (e«"'' cos 6.v) == (a^ + fj^) e«^ sin bx dx,

b d (e«^ sin bx) -[- a f/ (e«^ cos 6.y) = (a^ + ^2) e«^ cos 6a' dx.

Il vient donc, en intégrant.

, ^ . , , e^'*^ (a sm bx — b cos bx) , ^

e^'^ sm bx dx = ^^ , , ,, '- + C,

, , e"^ (b sin Z^x + a eos bx) , „

e^'^ cos bx dx = ^^ „ , ,^ ^ + C.

Les intégrales plus générales proposées dans le titre, se déduisent des précédentes par la méthode de dérivation. En dérivant n fois par rapport à a, il vient

/„ ,,,, . T 7 T-^,ie«^(a sin 5a: — 5cos5Ar) , ^ A» e«^ sm bx dx = D^ i , , ,, ^ + C, a- + 62

-^„e«^ (6 sin 6a + a cos 6a) , „ e«^ cos 6a dx =D« ^ , , ^, ^ + C.

214. Différentielles réductibles aux précédentes. — I. O/i peut réduire aux précédentes et, par conséquent, intégrer les différentielles de la forme générale

E(a, ^'^, sin 6a, sin ex,... cos eA, cos /a,...) dx

où E(a, y,...) désigne un polynôme en x, y,... et a, b, c,... des constantes quelconques.

En effet, chaque terme du pohnome E contient en facteur un produit de sinus et de cosinus à certaines puissances. On le décomposera en une somme de sinus ou de cosinus par les formules indiquées au n" 210 pour la décomposition des puissances ou des produits de sinus ou de cosinus, formules auxquelles il faut ajouter

I r ^ sin aa sin [j.a =-| cos (A — ij.) a — cos (a -f |j,)a

et qui permettent de décomposer de proche en proche des produits de deux, trois, quatre,... facteurs. Après ces décompositions, la différentielle proposée se partagera en une somme d'autres des divers types déjà intégrés :

Xmenax ^^^ ^nienax sj^ ^^y ^l^ ^m^tiaœ ç^^^ j^^ ^^

II. On peut ramener aux précédentes et, par conséquent, intégrer les différentielles :

E (.v, Log- A') dx, E {x, arc siii x) dx, E (.v, arc cos x) dx

où E {x, y) est un polynôme en x, y.

En effet, par les substitutions respectives

Log X =- 3, arc sin x = z, arc cos x = z,

ces différentielles deviennent

E (e^, ;:;) e^ dz-, E (sin z, z) cos z dz, — E(cos z, z) sin z dz

et elles rentrent dans celles du tliéorème précédent.

215. Différentielles qui renferment la racine carrée d'un polynôme du second degré. — Les différentielles qui ne renferment pas d'autre irrationalité que la racine carrée d'un poh'uome du second degré peuvent, comme nous allons le montrer, se ramener par substitution à des différentielles rationnelles en sin t et cos t. C'est un nouveau procédé d'intégration à ajouter à ceux du 11*^202.

1° Si le radical est de la forme \/a^ — ^x:^, on pose X ^ a sin t, d'où

dx = a cos t dt, Sja- — x^ = a cos t.

C'est la méthode déjà rencontrée au n° 190, 3°. 2° Si le radical est de la forme sja' + x^, on pose

adt

{ dx a tg t, d ou {

ya^ ^- .x2 ^ ^

cos t'

3" Si le radical est de la forme \lx^ — a^, on pose

-, . ( dx ^ atgt sec t dt,