INTÉGRALES CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES

entre les bornes M^- et mi, la somme précédente est comprise entre les deux exj)ressions I^MïSg et Sm^S,, qui ont toutes deux pour limite l'intégrale définie, donc elle a la même limite.

On peut choisir, en particulier, ^i = Xt et écrire o^ = dxi ; il vient alors

fV(A-) dx = lim î f(x,)dx,.

Ainsi l'intégrale définie peut être considérée comme la limite d'une somme de différentielles. C'est même là le premier point de vue auquel on s'est placé pour la définir. Aussi c'est dans la relation précédente que l'on trouve l'origine de la notation de l'intégrale définie et, en particulier, du signe f qui représente une limite de sommes.

221. Cas où a est > b. — Nous avons supposé jusqu'ici a < h, mais la définition de l'intégrale

^J{x)dx

comme limite de sommes et ses conséquences subsistent pour a > b. Seulement, comme les points de subdivision Xi sont supposés numérotés dans le sens de a vers b, toutes les différences x-i+i — Xi == ùi deviennent maintenant négatives et les amplitudes des intervalles élémentaires sont — Sj. Ecrivons donc

I V(-v) dx = lim i: M^o, = — lim S M^ (— S,) ;

nous avons, par la définition antérieure, b étant < a,

lim ^ M, (— Oi) =-- rV(^) dx ; par conséquent,

{"f\x)dx=^-\"ax)dx.

Ja Jb

Donc intervertir les limites d'une intég-rale définie revient à changer son signe.

Remarque. — Ce théorème permet d'écrire l'équation (2) du n" 2x8 sous la forme suivante :

I V(.V) dx + r/(A-) dx + fV(A-) dx = 0, Ja Jb Je

334 CHAPITRE Vi. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTEGRALES DEFINIES

comme on a en géométrie ah -\- hc + ca = 0 en vertu du princii)e des signes. Sous cette forme, l'équation est symétrique en a, b, c. Par conséquent, elle subsiste quelle que soit la situation respective de ces trois points. Elle suppose seulement la fonction intégrable (n° 216) dans tous les intervalles considérés.

222. Signification géométrique de l'intégrale définie. — L'intégrale définie est susceptible d'une interprétation géométrique. Soit f{x) une fonction continue dans l'intervalle (a, b) ; considérons la courbe qui a pour équation en coordonnées rectangulaires

et supposons, pour fixer les idées, que son ordonnée soit positive. Proposons-nous de définir et d'évaluer l'aire comprise entre la courbe, l'axe des .y et les deux droites x -= a et a; = b. Partageons cette aire en segments élémentaires par des parallèles à l'axe des y d'abscisses successives x^, x^,... Xn menées entre les droites extrêmes x = a (ou xj et x = b (ou a^^+i). Un segment quelconque de base Xj+i — Xt (ou 8/) est compris entre deux rectangles, l'un inscrit dans le segment et l'autre circonscrit. Le premier a pour hauteur le minime nit de f{x) entre Xi et XiJ^i, l'autre le maxime Mj entre les mêmes j)oints. Leurs mesures sont m^i et M^Bj. Donc l'aire à évaluer est comprise entre la somme 'Lm^i des rectangles inscrits et celle EMïOj des rectangles circonscrits. Comme ces deux sommes tendent vers la même limite quand tous les segments tendent vers 0, cette limite commune peut servir de définition et de mesure à l'aire que nous nous sommes proposés d'évaluer. Cette aire est donc égale à l'intégrale définie

{){x)dx.

Ja

Telle est l'interprétation géométrique annoncée : Une intégrale définie représente une aire plane.

223. Intégrale considérée comme fonction de sa limite supérieure ; sa dérivée. — Remplaçons la limite supérieure b de l'intégrale définie par une variable X, nous formons une fonction de X :

'(x)^jy{x)

dx.

INTEGRALES CONSIDEREES COMME LIMITES DE SOMMES 235

Cette fonction jouit des propriétés fondamentales suivantes : La fonction F(X) est continue dans tout intervalle où f(K)

est intégrable.

En effet, pour un accroissement h de signe quelconque donné

à X, on a (n° 221)

I f{x)dx= ( + | f{x)dx

ja ,\

donc, par le théorème de la moyenne (11° 217),

rx+h F (X 4- h) - F (X) -^ J^ f{x) dx ^ iih,

où p. est une valeur moyenne de f{x) dans l'intervalle de X à X + /ï. Cette relation prouve que F (X + A) — F (X) tend vers zéro avec h, donc F(X) est fonction continue de X.

Supposons maintenant que /"(X) soit continue au point X ; la valeur moyenne [j. tendra vers fÇK) quand h tendra vers zéro, et l'on tirera de la dernière équation

F'(X)=: lim — ^^ — j- ^ — - = lim u. = /(X).

De là, le théorème fondamental suivant :

La dérivée d'une intég-rale définie par rapport à sa limite supérieure est égale à la valeur de la fonction sous le signe d'intégration à cette limite, pourvu que cette fonction soit continue en ce point.

224. Autres propriétés des intégrales définies. — I. Si f{x) se décompose en une somme de fonctions intégrables (11° 216), à savoir 'f{x) -f •'y{x) + —, la fonction f{x) est intégrable et l'on a

(1) Ç'f{x) dx = fcp (x) dx + ( % {x) dx

jci Ja Ja

C'est la règle d' intégration par décomposition pour les intégrales définies. Elle se démontre facilement au moyen de la définition de l'intégrale donnée au n" 220. En effet, on a S/-(i,)o, = Scp(i,)B, +2<Ki,)8, 4--

Faisons tendre les ô^ vers zéro et passons à la limite ; par définition, l'équation précédente sera remplacée par l'équation (1).

II. Un facteur constant peut être mis hors du signe d'intégration.

Ja