CHAPITRE VI, THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DEFINIE
Soit, en effet, A constant ; on a, par définition (n° 220), ^A t\x) dx =-- lim S A f{ii) 0, = A Uni 2 /X^/) 5^ ; (2) CAf{x)dx = A('f{x)dx.
Ja Ja
225. Théorème de la moyenne. — Considérons l'intégrale ^'l\x)'^{x)dx
Ju
et supposons que la fonction à intégrer soit le prodviit de deux fonctions intégrables, l'une ^{x) constamment positive dans l'intervalle (a, h) et l'autre f{x) comprise entre m et M. On aura, si h est > a,
f [M - f{x)\ ^{x) dx > 0, fV(.v) - nx\ '^{x) dx > 0.
Ja Ja
car, les fonctions à intégrer étant positives, ces intégrales sont des limites de sommes positives. On peut décomposer ces intégrales en deux autres et faire sortir les constantes M et m du signe d'intégration (n° 224) ; il vient ainsi, sans difficulté,
Ch Çb Çh
M ^{x)dx > I f{x)o{x)dx > m o(x)dx.
Ja ' .« ' Ja '
Donc, en désignant par pi une moyenne convenable entre les valeurs de f'{x) dans l'intervalle (a, />), on peut écrire
(3) rf{x)r^{x)dx=J%{x)dx.
Ja Ja
C'est dans cette relation que consiste le théorème de la moyenne. IS'ous l'avons établie en supposant h > aet <d{x) positif, mais elle subsiste évidemment pourvu que <f{x) ne change pas de signe dans l'intervalle (a, b).
Quand f{x) est une fonction continue dans l'intervalle (a, b), on peut remplacer y. par f{^), où i est une valeur convenable de ;x; dans cet intervalle, et écrire l'équation (3) sous la forme suivante :
(4) {'t{x) ^{x) dx = m fV-v) dx.
Ja Ja
En faisant <p(.v) = i dans lès formules (3) et (4), on retrouve celles du n° 217 :
RELATION ENTRE LES INTEGRALES DEFINIES ET INDEFINIES 287 Ja Ja
{'f{x) dx =^ m) Cdx = m {b - a).
Ja Ja
§ 2. Relation entre les intégrales définies et indéfinies. Calcul des intégrales définies.
226. Retour sur le chapitre précédent : Existence d'une fonction ayant pour dérivées f{x). Remarques sur les notations. — Dans tout le chapitre V, on a admis provisoirement le résultat suivant, énoncé au n° i83 : Si f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), il existe une fonction ayant f{x) pour dérivée dans cet intervalle. Ce théorème se trouve maintenant rigoureusement établi. En effet, l'intégrale
est une fonction particulière qui jouit de cette propriété (n° 223). Lorsqu'il n'en résulte aucune confusion, on remplace habituellement la variable y par .v dans la notation de l'intégrale précédente, qui devient
riv')dx.
Cette expression a donc pour dérivée la fonction f(x) écrite sous le signe d'intégration. Cette propriété commune des intégrales indéfinie et définie :
\f{x)dx, ^J{x)dx,
explique l'origine du signe J dans la notation de la première.
227. Relation fondamentale pour le calcul des intégrales définies. — Lorsque, par un procédé quelconque, on a trouvé une fonction continue F{x) qui admet f(x) pour dérivée dans l'intervalle (a, b), cette fonction ne peut différer que par une constante de l'intégrale définie considérée ci-dessus, car ces deux fonctions ont la même dérivée. Il vient donc, C désignant une constante à déterminer,
rf{x)dx=^F{x)^C.
Ja
