CHAPITRE VI. THÉORIE ÉLÉMENTAIBE DES INTÉGRALES DÉFINIES

En particulier, si a; = a, on trouve 0 = F (a) + C, d'où l'on tire C == — F (a) ; par conséquent,

\'f{x)dx = F{x)-F(a); et, si l'on fait .y = b,

(1) jV(.v)rf.v = F(/>)-F(a).

C'est la /br/n H /e fondamentale pour le calcul des intégrales définies. On la met souvent sous la forme plus condensée

(2) {'f{x)dx^[¥{x)].

Ja a

Le second membre se prononce en abrégé : F {x) aux limites a et h. Il représente l'accroissement éprouvé par la fonction continue F (a-) quand A- passe de a à h, ce que nous appellerons /a différence de F (a;) dans l'intervalle (a, b). De là, le théorème suivant :

L'intég-rale définie f{x) dx, prise entre deux limites entre

Ja

lesquelles f{x) est continue, est égale à l'accroissement d'une fonction continue F (a) ayant /"(a*) pour dérivée, quand x passe de a à b.

228. Sur la manière d'employer le théorème précédent. — Le théorème précédent est fondamental. Il ramène le calcul de l'intégrale définie à celui de l'intégrale indéfinie, auquel s'appliquent toutes les méthodes exposées dans le chapitre V.

En effet, l'intégrale indéfinie a pour dérivée f{x) par définition, et l'équation (2) peut s'écrire

(3) {'f{x)dx = \ (f{x)dxT.

ja ^J J «

L'intégrale indéfinie comporte une constante arbitraire, mais on peut la négliger pour le calcul de l'intégrale définie, car le théorème précédent s'applique à toute fonction ayant pour dérivée f{x).

Lorsque la fonction F (a*) est à déterminations multiples, le choix des valeurs à attribuer à F (a) et V{b) dans la formule (1) résulte de la condition de continuité imposée à F (a). En gêné-