CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES

rai, ou pourra choisir arbitrairement la détermiuation de F (a), mais alors celle de F(&) est imposée, car il faut que F{x) varie d'une manière continue de F (a) à F (6) quand x varie de a à t. Cette remarque s'applique, en particulier, aux inverses des fonctions circulaires. On a, par exemple,

j — j — ^ = arc tg b — arc tg a ;

mais les valeurs arc tg a et arc tg b doivent appartenir à la même branche de la fonction. Le plus simple est donc de considérer la branche principale. Si l'on fait a == 0 et 6 = i, il vient ainsi

Joi + xv Uy 4'

229. Remarque sur la définition de l'intégrale définie. — Certains auteurs prennent la relation (3),

jj{x)dx = ^jf{x)dxj^,

comme définition de l'intégrale définie, et considèrent comme une propriété l'égalité de cette expression avec une limite de sommes. Ce mode d'exposition peut paraître plus simple à première vue, mais cette simplicité est plus apparente que réelle. En effet, cette définition postule l'existence d'une fonction ayant pour dérivée f{x), et celle-ci ne peut être établie d'une manière générale que par la considération d'une limite de sommes.

230. Intégration par décomposition et par parties. — Les règles d'intégration par décomposition, par parties et par substitution s'étendent aux intégrales définies, mais avec des modifications tenant aux limites.

Si II, V, LU,... sont des fonctions iutégrables de .v (n'^ 216), on a

(4) 1 {il -{- V — w + .-•) dx = iz (/.v -f i'v dx — \ w dx + ...

'a Ja Ja Ja

C'est la règle d' intégration par décomposition, déjà démontrée (n° 224).

Si II et V sont des fonctions de a* aj'ant des dérivées intégrables w' et u' dans l'intervalle (a, b), iw a pour dérivée uy' + v'u ; on a donc

24o CHAPITRE VI. THEORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DEFINIES

{liu' + ll'v)(l\ =r\iw\

et, par la règle précédente,

(5) iw' dx = \ uv\ — vu' (L\\

Ja L Je? }a

C'est la règle d'intégration par parties. On peut l'écrire, en* abrégé,

iidv ^-\uv\ — j V du,

en soiis-entendant que les limites sont relatives à .v.

231. Intégration par substitution. — Cette règle exige un peu plus d'attention. Soit /(.v) une fonction continue de x dans l'intervalle (a, b) ; posons

A- = cp(0

et supposons : i° que, quand t varie de t^ à T, cp(f) varie d'une manière continue de a à, b ; -2" que o{t) ait une dérivée continue cp'(^) dans l'intervalle (^i, T) ; 3° que /[«(Ol soit aussi continue dans cet intervalle. Cette dernière condition résultera d'ailleurs des précédentes si cp(^) reste compris entre a et b, mais nous ne faisons pas cette hypothèse. Je dis qu'on aura

(6) lV{-V)^/.V - Çf['f{t)]r^\t)dt.

C'est la formule d' intégration par subaiitution. Pour la démontrer, considérons les deux fonctions de t :

('' r{x)dx et Çfmt)]'^\t)dL

Elles ont même dérivée. La dérivée de la seconde est la fonction sous le signe d'intégration (n'- 223). Celle de la première s'obtient par la règle des fonctions de fonctions : On calcule d'abord la dérivée de cette intégrale par rapport à sa limite supérieure ^{t), ce qui donne f[f{t)], j)uis on multiplie ce résultat par la dérivée de cp(^). On trouve dans les deux cas f['f{t)] ^'{t). Les deux intégrales, ayant môme dérivée, ne diffèrent que par une constante ; elle s'annulent toutes deux pour t = t^, donc elles sont égales. En particulier, si f = T, il vient

CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 24l

(7) ('^''')-{x)dx= rf[^{t)]^'{t)dL

Cette équatiou revient à (6), car cp(fi) == a, cp(T) ^ b.

Cas où il y a des discontinuités. — Plus généralement, la formule (6) subsiste si la i'onetion çp(f) est eontinue et si les fonctions f[^{t)] et -^'(0 ^^^^ bornées dans l'intervalle de ^i à T et n'ont, dans cet intervalle, qu'un nombre limité de points de discontinuité.

En effet, on peut partager l'intervalle {t^, T) en parties consécutives dans lesquelles il n'y ait de discontinuités qu'à l'une des limites, et il suffit de démontrer que la formule (7) s'applique dans cliaque partie, car, en additionnant les résultats, elle s'étend à l'intervalle entier.

Nous pouvons donc admettre qu'il n'y ait de discontinuité qu'à la limite supérieure T, auquel cas nous avons (sans difficulté, quelque petit que soit e positif)

et, à la limite pour e = 0, cette équation revient à (7) et, par suite, à (6).

232. Intégrales définies généralisées. — La définition de l'intégrale définie suppose les limites a et b finies et la fonction f{x) bornée dans l'intervalle (a, b). Si ces conditions n'ont pas lieu, il faut de nouvelles définitions.

1° Soit f{x) une fonction bornée et intégrable (n'' 216) dans l'intervalle (a, .%•'), quel que soit x' , pourvu que x' soit > a. L'intégrale de f{x) dx prise entre les limites a et 00 est, par définition, la limite, si elle existe, de l'intégrale prise entre a et x' quand x' tend vers l'infini et c'est iine intégrale g-énéralisée. On a donc

(8) rf{x)dx=^limrf{x)dx.

Si cette limite n'existait pas, l'intégrale à limite infinie n'existerait pas non plus. L'existence de l'intégrale à limite infinie n'est pas assurée, môme quand f{x) est continue. Cer-