CHAPITRE VI. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES

taines règles permettent, dans des cas étendus, de constater si

l'intégrale à limite infinie est déterminée ou non. Xoiis nous en

occuperons dans une autre partie du cours. Pour le moment,

contentons-nons de remarquer que, si l'intégration indéfinie

peut être effectuée, la définition de l'intégrale généralisée suffit

pour s'assurer de sou existence et la calculer. Par exemple,

r=c rx' r -]xi

e-^dx = lim e-^c?.v = lim i — g-^ ^ i.

,'0 X' = cr.Jo iCl = x L JO

Les intégrales prises entre les limites — ce et b, ou entre — c» et + co s'interprètent d'une manière analogue.

2° Soit maintenant f{x) une fonction qui croît à l'infini quand X tend vers b, mais est bornée et intégrable dans l'intervalle (a, b — e), quelque petit que soit e. On pose par définition, a étant donc supposé < b,

(9) C'/Xa-) dx .- lim {'")\x) dx.

.a £=0 Ja

L'existence de l'intégrale généralisée est liée à celle de cette limite. Lorsque l'intégration indéfinie peut être effectuée, cette définition suffit pour le calcul, on a, par exemple,

fi dx .. . . ^ "^ = lim arc sm (i — s) = -.

Josji — x'- ^ ^ 2

3° Si f{x) augmentait indéfiniment quand a: tend vers a, mais était bornée et intégrable dans l'intervalle (a -|- e, b) quelque petit que fût e, on poserait d'une manière analogue

(10) rf{x)dx =^lun f f{x)dx,

Ja £=0 ,«+c

et l'existence de l'intégrale serait liée à celle de cette limite.

4° Supposons enfin que f{x) devienne infinie pour un nombre limité de valeurs de a dans l'intervalle (a, b). Partageons cet intervalle en parties consécutives où f{x) n'est infinie qu'à l'une des limites. L'intégrale de f{x)dx dans (a, b) sera, par définition, la somme des intégrales dans chaque partie. Pour que V intégrale généralisée existe dans l'intervalle (a, b), il faut donc qu'elle existe dans chaque partie, ce qui ramène aux définitions précédentes.