CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 2^S
233. Extension de la formule fondamentale (1) au calcul des intégrales généralisées. — I. Lorsque la l'onction /(.v) est continue pour toutes les valeurs de .v dans l'intervalle (a, b), sauf pour un nombre limité de valeurs exceptionnelles qui peuvent la rendre infinie, l'équation fondamentale (1) pour le calcul des intégrales définies (n" 227), à savoir
subsiste pour l'intégrale généralisée, pourvu que la fonction F(.\-) soit continue dans tout l'intervalle (a, b) sans exception, et qu'elle ait /'(.v) pour dérivée sauf pour les valeurs exceptionnelles.
En effet, si b est la seule valeur exceptionnelle, l'équation (9) donne
f /-(-v) dx = lim [F{b - e) - F(a)] = F{b) - F(a).
La conclusion est analogue, si a est la seule valeur exceptionnelle. S'il y a une valeur exceptionnelle c intermédiaire entre a et b, il vient
f/(A-)t/A-^ f-f fV(.v)^^-v^F(c)-F(a) + F(^)-F(c).
Ja Ja Je
Comme F(c) disparaît, on retrouve encore la même équation. Enfin la démonstration s'étend de proche en proche au cas où il y aurait x^lusieurs valeurs exceptionnelles intermédiaires.
IL Si les fonctions f{x) et F(a-) sont continues pour toutes les valeurs de x supérieures à a, et si F (x) tend vers une limite déterminée F(oo) quand .y tend vers l'infini, l'équation fondamentale,
[^/■(.v)f/.v^F(co)-F(a),
subsiste encore, car, en appliquant l'équation (8), il vient { f{x) dx = lim [F(a-') — F(a)] ^ F(^ ) — F(a).
Ja
234. Application au calcul de quelques intégrales définies. — Indiquons quelques applications de la formule fondamentale
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