CHAPITRE VI. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES
proche les exposants m et n à 0 ou à i, donc les intégrales à l'une des quatre suivantes :
- TU 77 t:
dx, sin .Y cL\, ' eos .v dx, " sin a- cos a: dx,
Jo Jo ,'0 ,'o
ayant respectivement pour valeurs ", i, i et ~.
Pour abréger l'écriture, convenons de représenter par m ! ! le produit de tous les entiers non supérieurs à m mais de même parité que m (ce que nous pouvons appeler une semi-factoriellé). Il viendra
cos'".v<:/.v
( sin»'xdx ^ \ __
Jo Jo (m-i)!!, . . ,
' (m et n pairs),
/ (m — I) !!(7i — I) Ur.
,.,,, = ) (m + n)!!— iJ
'' sin"^ X cos' Jo j (m — i)U (n — i) !! /'m ou n outous^
\ {m -\- n) !! vdeux impairs.y
Lorsque m et n sont impairs, soit m = 2jj -\- i, n = 2q -\- i, la formule précédente se simplifie.
Psin^P+i.'
v cos^'?+i .X dx = ^ ^' ■ ^
236. Exemples de changements de variables. — I. Par la substitution X = tg z, il vient, eu égard aux résultats précédents (m entier et positif),
II. Par la substitution x = sin z, il vient (m entier positif)
['(i - .vO'» rf.v = /; cos-»- . dz =, ^^Jiljj.
III. Par la substitution .v = sin z, il vient (m entier positif)
,„ 7 ^- l ^ vr ("ï pair),
= sin"« zdz -=- l
Jo\/i — A-^ Jo (m-i)!! , . . ,
> / (m impair).
CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 2^y
IV. Par la substitution sjax — x^ = xz, d'où x -= a : (i h ~-^), il vient (m entier positif)
p x»Hlx ^,^ p d£
Va.T— .v^ Jo (i -h -')*"+- (2m) !!
Y. Par la substitution x = sin^ s, il vient (p, q entiers positifs)
I xP (i — .v)9 dx =21*' sin2î'+* z cos-^+i z dz = 7— ~~— ,.
Jo ^ Jo {p + q + 1)
VI. Par la substitution x = z : {i [- z), la même intégrale se transforme dans
r" zPdz plql
Jo {i+z)P+9+''^{p-\-q + i)l
237. Formule de Wallis. — Soient 11 un nombre entier positif et X une variable comprise entre 0 et tt : 2 ; on a
sin'-'^+^ X < sin^»^ ^c < sin^»-* x,
par conséquent,
'giji2«+i ^ (jx < ^sin-" .Y dx < I "sin'-"-i x dx
Jo Jo . o
et, en remplaçant les intégrales par leurs valeurs numériques,
On déduit de ces inégalités
r (2/0 !! 1 '^__ . TT ^ r (2//)!! 1 '± .
donc, 0 étant compris entre 0 et i,
2 ~L(2/î — i)!!j 2/1 + 6' Faisant tendre n vers l'infini, et observant que (2/1) : (2/1 4- 8) tend vers l'unité, on obtient la formule de Wallis
238. Intégrales obtenues par des artifices de calcul. Exemples. — L'intégration indéfinie est le procédé le plus important pour
248 CHAPITRE VT. THÉORIE ÉLP3rEXTAIRE DES INTÉGRALES DEFINIES
calculer les intégrales définies, mais ce n'est pas le seul. Certaines intéo-rales définies se déterminent par des artifices de calcul, sans qu'il soit possible d'obtenir sous forme finie les intégrales indéfinies correspondantes.
I. Un des exemples -les plus remarquables est fourni par l'intégrale généralisée
Ce-^' dx,
qui joue un rôle important en calcul des probabilités. Pour la calculer, établissons d'abord quelques inégalités.
La fonction (i + a)e-^, ayant sa dérivée — ae-^ de signe contraire à a, atteint son maxime (qui est i) pour a =-- 0. Xous avons donc, en remplaçant a par ± x-,
d'où les deux inégalités
Elevons-les à la puissance positive n, en supposant i — x^ positif dans la première, nous trouverons
Comme nous avons
j e-^2 jy ^ y- 1 g-„.r2 jy > yn l e-"^ ' dx,
Jo Jo .'o
nous tirons des inégalités précédentes, pour n entier (n® 236),
Jo ^ Jo (l+^T ^ (2n-2)!!2'
r e--^^ dx > \ln (\i-x'y dx = V" , ^^^i^'l.r
jo Jo (271 + 1)!!
Ces deux résultats peuvent aussi s'écrire comme il suit : Il r (2i7)!! Il r ., 7î on r(2n — i)!! -1
Faisons tendre n vers l'infini ; ces deux crochets tendent respectivement vers sj- et i : sJtz par la formule de Wallis, donC les deux membres extrêmes vers y?: : 2, et il vient
Pt
JV
^ =^ (Tïr
Jy
Jt =
CiALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 2^Q
II. Comme second exemple, considérons l'intégrale snivante l''^ a: sin x dx Ç^x sin .v dx Ç~ x sin x dx
Jq I 4- COS^A.' Jo I + COS^V j 7T I + cos%x .
Par la substitulion x = - — ;^, la dernière intégrale devient 1*0 (tt — z) sin -• dz__ f s sin z dz Cï z sin z dz
JTZ I + COS-S ~ jo I -1- COS^S Jo I + COS-2 "
Portons cette valeur dans l'équation précédente, nous trouvons
T" .V sin A- </.Y Çi^iwxdx V , , C\^ tî- , ; — = ~ — , o — = - — arc tg (cos x) ^ -=-.
Jo I + COS-^ .V Jo I + COS2 A- L Jo 4
HT. Considérons, en dernier lieu, l'intégrale suivante : Log (sin .v) dx ^ Log (sin x) dx + Log- (sin x) dx.
Jo Jo Jt^
Y Xous avons, d'une part,
ir
Log (sin x) dx = '-i] Log (sin x) dx,
Jo Jo
car, par la substitution a- = - — z, l'intégrale aux limites - : 2 et - se transforme dans celle aux limites 0 et tc : 2.
D'autre part, sin a; = 2 sin -cos^, donc, en prenant les logarithmes et intégrant, nous avons
Log(sin.v)<:/A' = -Log2 + Log( sin- jdx -{- Log( cos- )dx
Jo Jo V 2/ Jo \ ij
= 7t Log 2 + 2 Log (sin a;) <:/a: -f 2 I Log {cù9,x)dx
- 7rLog2-f 4 j 'Log- (sin x) dx,
car les deux intégrales aux limites 0 et tc : 2 se ramènent l'une à l'autre par la substitution a- == (t: : 2) — s et sont, par conséquent, égales.
De la comparaison des valeurs obtenues de part et d'autre, nous tirons, en réduisant, la valeur de l'intégrale cherchée (Euler) :
JLog (sin a;) dx = — - Log 2.
25o CHAPITRE VI. INTÉGRALE DE RIEMANN
§ 3. Intégrale de Riemann.
L'intégrale de Riemann fournit la généralisation la plus directe de la théorie élémentaire des intégrales définies, mais elle n'a plus guère qu'une importance historique, car elle rentre comme cas particulier dans celle de Lebesgue, qui sera étudiée dans le chapitre suivant.
239. Théorème de M, Darboux. — Soient /(;?;) une fonction univoque et bornée dans un intervalle {a, b), M et m ses bornes supérieure et inférieure. Partageons l'intervalle (a, b) en n parties consécutives par les points :
xi = a, Xi, x-i,... Xi,... x„, x„+i = b.
Désignons, en général, par S/ = xz+i — xi l'amplitude d'un de ces iritervalles, par M/ et tm les bornes supérieure et inférieure de f{x) dans l'intervalle ôj. Formons les deux sommes :
S = lM,a,- 5 = 2 w,- S/.
Ces deux sommes sont comprises entre m {b — a) et M {b — a). Voici maintenant le théorème de M. Darboux :
Théorème. — Si l'on multiplie indéfiniment le nombre des points de subdivision, de manière que tous les intervalles ô/ tendent vers 0, les deux sommes S et s tendront respectivement vers des limites déterminées, L et l, indépendantes du mode de subdivision adopté.
Il suffit de faire la démonstration pour S, car S est remplacé par — s quand / est remplacé par — /. Ensuite on peut supposer/ > 0; en effet, si A est une constante, les sommes S relatives à/ ne diffèrent des sommes correspondantes relatives à/+ A que par une constante A{b — a), de sorte que le théorème sera vrai pour/ s'il est vrai pour /"+ A et on peut prendre A assez grand pour que/+ A soit positif.
Supposant/ positif, faisons encore une observation préliminaire : si l'on partage un intervalle Ô, en sous-éléments 5]., ô^- ,... où les bornes supérieures de/ sont M/, M,- ,... le produit M,ô; ne sera pas inférieur à la somme M^^^ + M,o, -|- ... étendue aux sous-éléments de S,, ni à fortiori (les termes étant positifs) à toute somme analogue qui ne s'étendrait qu'à une partie seulement de ces sous-éléments.
Démontrons maintenant le théorème de M. Darboux.
Toute somme S est > m{b — a) ; l'ensemble des sommes possibles admet donc une borne inférieure L. Je dis que S a pour limite L quand les éléments S» tendent vers 0.
En effet, soit s un nombre positif arbitraire. Par définition de L, il existe une somme fixe S', fournie par un certain mode de partage en éléments déterminés o', telle qu'on ait S' < L + e. Considérons main-
tenant les éléments décroissants o/ relatifs à la somme variable S, et partageons-les en deux classes : i° ceux qui sont intérieurs à l'un des éléments fixes o' ; op ceux qui empiètent sur plusieurs éléments ô'. En même temps, S est partagé en deux parties Si + So, où Si se rapporte aux éléments de la première classe et So à ceux de la seconde. vSi est < S', car, par notre observation préliminaire, chaque terme de S' est remplacé par une somme moindre dans Si ; ensuite Sj tend vers 0 avec les intervalles Ô^-, car les éléments o,- de la seconde classe sont en nombre limité (comme les intervalles fixes ô') et leur somme tend vers 0 en même temps qu'eux tous. On a donc
lim S = lim Si < S' < L + £.
Donc, £ étant arbitraire et S au moins égal à J^, la limite de S est L.
On prouve d'une manière analogue que s tend vers sa borne supérieure /.
240. Intégrales par excès et par défaut. — Fonctions intégrables au
sens de Riemann. — Les deux limites L et / des sommes
limites dont le théorème de M. Darboux établit l'existence, s'appellent les intégrales par excès et par défaut (Jordan) de f{x) dans l'intervalle {a, h). On les représente par les notations
''f{x)dx, {\f{x)
Si elles sont égales, leur valeur commune est, par définition, l'intégrale définie de/(A;) ^;t; au sens de Riemann. Celle-ci se représente par la notation
j f{x) dx ou simplement 1 f{x) dx.
On dit, dans ce cas, que la fonction /(;*;) est intégrable au sens de Riemann, ou, en abrégé, est intégrable (R) dans l'intervalle (a, b).
La condition nécessaire et suffisante pour que/(.r) soit intégrable (R) est donc que la différence L — l soit nulle, ou que l'on ait
L — / = lim S (M.- — mi)oi = 0.
Lorsque la fonction /(a?) est intégrable (R) dans l'intervalle {a, h), on peut évidemment définir l'mtégrale par la formule
{ f{x)dx=\\mîf{^.i)^i,
les points h étant choisis d'une manière arbitraire dans les intervalles h de même indice.
Lorsque f^x) n'est pas intégrable (R), cette limite n'existe plus, mais ^j\Si) o/ a pour limites d'indétermination (plus grande et plus petite limites) les intégrales par excès et par défaut. Nous conserverons donc un sens à l'expression
Ja
f{x) dx,
même au cas ovif{x) n'est pas intégrable (R), en lui attribuant une valeur indéterminée dans l'intervalle des intégrales par excès et par défaut.
Nous avons supposé jusqu'ici la fonction /(;i;) univoque. Rien n'empêche de former des sommes analogues quand/(;i;) est indéterminée pour certaines valeur.s de x, pourvu que ses limites d'indéterminaiion soient connues pour chacune de ces valeurs. On conçoit, en effet, que la fonction puisse prendre, pour chacune des valeurs de x, toutes les valeurs comprises entre ces limites. La connaissance de ces limites permet donc d'assigner aussi les bornes supérieure et inférieure de/{x) dans un intervalle quelconque, donc de former les deux sommes S et s considérées au no 239. D'ailleurs le fait de l'indétermination n'altère en rien les raisonnements, de sorte que ces deux sommes tendent encore vers des limites, qui sont les intégrables par défaut et par excès de la fonction considérée.
Si ces deux limites sont égales, la fonction /(;ir) est intégrable (R) et cette limite commune se représente comme précédemment. Cette extension permet de simplifier la théorie de la réduction des intégrales multiples (Voir t. II).
241. Propriétés des fonctions intégrables (R). — I. Soient /{x) une fonction intégrable (R) dans l'intervalle {a, b) et c une constante ; la fonction cf{x) est intégrable (R) dans le même intervalle.
En effet, soient mi et M,- les bornes de/(;i;) dans l'intervalle o/, celles de cf{x) seront cmi et cAL-. Or on a, puisque /est intégrable,
lim I (cM,- — cm,) o,- = c lim S (M/ — m^ h = 0,
donc cf est intégrable aussi.
IL La somme de plusieurs fonctions intégrables (R) dans {a, b) est intégrable (R) dans le même intervalle.
Soient/=/' +/" + ••• la somme de plusieurs fonctions intégrables, nh et Ml, m^ et M^-, w, et M^',... leurs bornes respectives dans 0,. On a
M.- — nii ^ (M;. — w') + {U'- — mi) + ...
Mais,/',/",... étant intégrables dans {a, b),
lim 2 (M|. — m',)èi + lim S (M ■' — w-')ô.-+ ... = 0;
donc a fortiori
lim S(M,- — mi) o,- = 0.
III. Le produit de deux fondmis intêgrables (R) dans {a, b), est intégrable (R) dans le même intervalle.
So\tf =/'/", le produit de deux fonctions intêgrables et positives. On a, avec les notations précédentes,
M,- — ;;// :^ M|M •' — «v«'- ^ INI -'(M ■ — ?;?') + w -(M," — m'-)
et, en désignant par M' et M" les bornes supérieures de /' et de /" dans tout intervalle d'intégration,
M/ — m,- ^ M"(M ■ — w •) + M'{M',- ' — ml). Donc
lim ï (M/ — m.)S/ ^ M" lim S (M ■ — w|) o,- + M' lim S (M|.' — nil) o/.
Le second membre a pour limite 0, puisque/' et/" sont intêgrables, donc le premier a /o^^wn a pour limite 0, ce qui prouve que /est intégrable.
Le cas où/' et/" sont de signes quelconques se ramène au précédent. On a, en effet,
Or le second membre est une somme de fonctions intêgrables, car les deux facteurs (/' — w') et (/" — w") sont positifs et leur produit intégrable. Donc/'/" est intégrable (propriété II).
IV. Si la fonction f est intégrable (R) dans l'intervalle (a, b) et si ses bornes supérieure et inférieure M et m sont de même signe, la fonction i : / est intégrable (R) dans le même intervalle.
Supposons, pour fixer les idées, M et m positifs. L'oscillation de I :/dans l'intervalle ô^- sera
^^ ^ — ^r < -T (M« — mi).
mi M,- Mimt m~
Par conséquent,
lim S f — — ^ Oi < -i^ lim S (M,- — mi) ô, = 0. V mi MiJ m^
242. Expression par une intégrale de la différence entre les intégrales par excès et par défaut. — Soit /{x) une fonction bornée dans l'intervalle (a, b). Représentons par
Osc.fix)
l'oscillation def{x) au point x {n° 24). La relation que nous voulons établir est la suivante :
r f{x) dx — [* /{x) dx = r Osc.fix) dx.
Ja Ja Ja
Décomposons l'intervalle {a, b) en parties consécutives ô/ et désignons par yii et mi les bornes supérieure et inférieure de f{x) et par Aj la borne supérieure de Os>c.f{x) dans chaque intervalle c:,. La démonstration repose sur le lemme suivant :
Quelque petit que soit e positif, on peut trouver un mode de décomposition de (a, b) en parties oi aussi petites que l'on veut, tel qu'on ait dans chacune d'elles
Mi — nh- < A/ + £.
En effet, si, t étant donné, aucun mode de décomposition de l'intervalle {a, b) ne vérifiait la condition précédente, en raisonnant comme dans la démonstration du théorème du n» 26, on prouverait qu'il existe au moins un point c dans l'intervalle {a, b), tel qu'une décomposition de l'intervalle (c — 0, c-\-o) vérifiant la même condition iùi impossible pour des valeurs aussi petites qu'on veut de 0. Or cette conclusion est inexacte, car, à partir d'une valeur suffisamment petite de 0, l'oscillation de/(.r) dans l'intervalle {c — 0,^4-0) sera inférieure à Osc./(c)+£.
En second lieu, on peut vérifier la condition proposée par un mode de décomposition en parties aussi petites que l'on veut. En effet, après avoir préalablement décomposé {a, b) en parties aussi petites que l'on veut, on peut encore, en vertu du raisonnement précédent, subdiviser chacune de ces parties de manière à réaliser la condition proposée.
Le lemme précédent conduit facilement à la relation à démontrer. En effet, considérons un mode de subdivision en parties 0/ vérifiant la condition de ce lemme, à savoir
A,- ^ Mi — mi < X + £.
Multiplions par o/ et sommons pour toutes les parties, il vient
S A,o, < I M^Oi - Z: w,o, < S A,o, + £ (è — a).
Faisons tendre à la fois ô,- et £ vers zéro ; les deux membres extrêmes de ces inégalités tendent vers la même limite, qui est, par définition, le second membre de l'équation à démontrer. Donc la limite de l'expression du milieu, qui en est le premier membre, est la même.
243. Longueur des ensembles linéaires (Jordan) (*). — Soient E un ensemble linéaire, e(x) une fonction égale à i en tout point de E et à 0 en tout autre point, a et b {b > a) deux nombres quelconques ; formons les deux intégrales :
leE = r eix) dx, UE = [
e{x) dx.
(*) Ces notions ont perdu de leur importance depuis que MM. Borel et Lebesgue ont donné une définition plus satisfaisante de la mesure des ensembles (Introduction § 11).
La première est la longueur extérieure de E dans l'intervalle [a, b), la seconde sa longueur intérieure (au sens de M. Jordan). Quand ces deux intégrales sont égales, leur valeur commune est la longueur de l'ensemble dans l'intervalle [a, b) et l'ensemble est mesurable dans cet intervalle au sens de M. Jordan ou, en abrégé, mesurable (J). Lorsque l'ensemble E est borné par les points a et b, on dit que les expressions précédentes sont les longueurs de E, sans désignation d'intervalle.
Supposons que l'on décompose l'intervalle {a, b) en parties consécutives, infiniment petites, o/ et rappelons-nous la signification des deux intégrales précédentes, nous pourrons énoncer les propositions suivantes, qui ont été prises comme définition par M. C. Jordan :
La longueur extérieure de r ensemble E dans l'intervalle (a, b) est la limite de la somme des parties Oi qui contiennent un point au moins de K ; la longueur intérienre la limite de la somme des parties qui ne renferment que des points de E. Ces limites sont indépendantes du mode de subdivision de {a, b) en intervalles ô/.
Il suit évidemment de ces nouvelles définitions que, si /((CE) désigne la longueur intérieure du complémentaire de E dans l'intervalle {a, b), on aura
leE + /,(CE) ^b — a.
Appliquons aux deux intégrales qui mesurent les longueurs extérieure et intérieure de E la relation du no 242. Il vient
~rb r* 'Ta
e{x) dx — 1 e{x)dx^ I Ose. e{x) dx.
Or Ose. e{x) est égal à i en tout point frontière de E et à 0 partout ailleurs. D'où les propositions suivantes :
La différence eiitre les longueurs extérieure et intérieure d'un ensemble est égale à la longueur extérieure de l'ensemble de ses points frontières.
Pour qu'un ensemble soit mesurable (J), il est nécessaire et suffisant que l'ensemble de ses points frontières soit de longueur nulle, ou que l'on ait
{ e{x)dx=^0.
244. Formes diverses de la condition d'intégrabilité (R). — La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction bornée, /(-r), soit intégrable (R) dans l'intervalle {a, b), est que les deux sommes S et 5 (no 23q) aient la même limite, ou que la somme essentiellement positive :
ait pour limite 0 avec tous les intervalles ô,. Or, quand les 0, tendent vers 0, S tend vers sa borne inférieure, s vers sa borne supérieure, donc S — s vers sa borne inférieure. La condition d'intégrabilité (R) est que cette borne soit nulle. Donc :
256 CHAPITRE VI. INTEGRALE DE RIEMANX
I. Pour que f{x) soit intégrable (R) dans l'intervalle {a, b), il faut et il suffit quà tout nombre positif z, si petit qu'il soit, corresponde un mode de subdivision pour lequel on ait S — s < s.
La formule du n" 242 fournit une autre régie :
II. La condition d'intégrabiliié (R) d'une fonction bornée f{x) dans l'intervalle {a, b) est
C'Osc.f{x)dx = Q.
Telle est, en effet, la condition d'égalité des intégrales par excès et par défaut. Elle peut être présentée sous une forme d'une vérification plus commode. A cet effet, soit s un nombre positif quelconque. Désignons par Eî l'ensemble des points de l'intervalle (a, b) où l'oscillation de f{x) est ^ s. Cet ensemble dépend généralement de e. La considération de l'ensemble Es conduit à la règle suivante :
11\. La condition d'iniégrabilité ÇR) d'une fonction bornée dans l'intervalle {a, b) est que Es soit de longueur nulle, quel que soit t.
En effet, soit e{x) une fonction égale à i en tout point de Ee et à 0 partout ailleurs, soit M — m l'oscillation de f{x) dans {a, b) ; on a évidemment, pour toute valeur de x dans cet intervalle,
te{x)< Osc./(.v) < s + (M — m) e (x).
Multiplions par dx et intégrons par excès entre aetb ; il vient, E^ désignant aussi la longueur extérieure de l'ensemble Es,
£E. < r*Osc./(.v) dx < £ (è — a) + (M — ;») Ee.
Ces inégalités prouvent que l'intégrale ne peut être nulle que si Es est nul et que, réciproquement, l'intégrale sera nulle si Es est nul quel que soit t.
Théorème. — Toute fonction f{x) monotone et bornée dans rintervalle {a, b) est intégrable (R) dans cet intervalle.
En effet, la somme des oscillations de /(.v) en tous les points de {a, b) ne pouvant surpasser la valeur absolue de/(è) — f{a), le nombre de celles qui surpassent une quantité donnée t est nécessairement limité et l'ensemble Es de la règle précédente est de longueur nulle.
