CHAPITRE VII

Intégrale de Lebesgue.

§ 1. Définition et propriétés de Tintégrale de Lebesgue.

245. Définition de l'intégrale d'une fonction bornée. — Pour obtenir l'intégrale de Riemann, on commence par partager l'intervalle d'intégration et l'on multiplie la longueur de chaque partie par une ordonnée correspondante. M. Lebesgue suit une marche inverse ; il commence par diviser l'intervalle de variation de la fonction,

Soient E un ensemble borné de mesure ?«E, f(x) une fonction mesurable dans E (no 82) et y admettant une borne inférieure [j- et une borne supérieure M. Donnons-nous un intervalle (A, B) débordant (jj., M) et décomposons-le en parties consécutives par une échelle de nombres croissants :

/o = A, h, h,... h,... ln = B.

Désignons par e,- l'ensemble des points de E pour lesquels on a li-i .</ < // et aussi la mesure de cet ensemble. Formons alors les deux sommes :

S = l ed/, s = led:-i.

THÉORÈiME. — Si tous ks degi'és, h — h—i, de Véchelle tendent vers 0, les deux sommes S et s tendent vers une limite commune, indépendante du choix des échelons h.

Cette limite est Y intégrale de Lebesgue et elle se désigne par les notations :

(L) I f{x)dx ou {\J)\f{x)dx (si E est un intervalle). Je" .a

On supprime l'indice L quand il n'y a pas de confusion possible, ce qui est le cas ordinaire.

La démonstration résulte des trois propriétés suivantes :

1° S et 5 sont bornés et compris entre p-(;«E) et M(7«E).

2° La dififérence S — s tend vers 0 avec les degrés de l'échelle. En effet, 0 étant le plus grand de ces degrés U — //i, on a

0 < S — s = i^ eili — //-i) ^ ôS^,- = S(;«E).

3° Si l'on intercale de nouveaux échelons entre les //, S est stationnaire ou décroissant, s stationnaire ou croissant.

Il suit de là que S et s, étant bornés, ont une limite commune quand les degrés de l'échelle tendent vers 0 par intercalation de nouveaux échelons. Ensuite cette limite est indépendante du mode de subdivision. En effet, soient S et s deux sommes- relatives à une première échelle et différant de e au plus, S' et 5' deux sommes relatives à une seconde échelle et différant de e au plus. Les quatre sommes différeront au plus de 25, car les unes et les autres comprennent entre elles les deux sommes S" et s" relatives à une troisième échelle formée avec les échelons combinés des deux autres.

246. Propriétés des intégrales de fonctions bornées. — I. Théorème DE LA :moyenne. — Si f{x) a pour bornes ;j. et M, on a immédiatement

IJ^(;«E)s^ { fdx^M{mE).

II. Si un ensemble borné E est la somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles Ei, E2,... sans points communs, ou bien n'ayant en commun que des ensembles de mesure nulle, l'intégrale dans E est la somme de celles dans Ei, E^,...

Il n'y a lieu à démonstration que s'il y a une infinité d'ensembles Soit S« l'ensemble Ei + E^ + ... + E« et soit Mj le maxime de |/ | . On a, sans difficulté,

I ( /^-i-'— I fd^' I = I I /^'^' I <Mi;;?(E— S«)-

( /^--v- f fdx 1 = 1 r .

^E JS„ .'E-S^

Mais m (E — S« ) = m E — m S« et tend vers 0 pour n infini ; il vient donc, la décomposition s'appliquant à S« ,

{ fdx^lim ( /dx = \ +1 +...

m. Lemme. — Si deux fonctions mesurables f et cp diffèrent au plus de t dans E, leurs intégrales dans E diffèrent au plus de t{m'E).

Donnons-nous une échelle de nombres h et définissons les ensembles e/, par rapport à/, comme au no précédent. Comme E est l'ensemble-somme des e,-, on a, par la propriété précédente.

j » rf^r = S cp dx.

Mais, dans e,-, s est compris entre //-i — £ et li+i + s. Il vient donc, par le théorème de la moyenne,

S /,! e,- — eS^/ < 1 <fdx<I hei + eS^,

DÉFINITION ET PROPRIETES 25ç)

et, à la limite, les échelons tendant vers 0,

( fdx — s( wE) < ( fdx^ \fdx + ô(wE). Je .e h

IV. L'intégrale de la somme d'un nombre limité de fonctions mesurables est égale à la somme des intégrales de ces fonctions.

Il suffit de considérer la somme/+ 'f de deux fonctions. Si elles sont toutes deux constantes dans E, le théorème est immédiat. Si elles ne sont susceptibles que d'un nombre limité de valeurs, E se partage en plusieurs parties sur lesquelles les deux fonctions sont constantes et pour lesquelles le théorème est déjà démontré : il suffit alors d'appliquer la propriété II. Passons au cas général. Soient /« et cp„ les fractions de dénominateur n approchées de /et de cf par défaut à moins de I : « près. Ces fonctions ne sont susceptibles que d'un nombre limité de valeurs, donc l'intégrale de (/« -|- o» ) est la somme de celles de fn et de 'f„ ; mais, quand n tend vers l'infini, ces trois intégrales tendent respectivement vers celles de (/+ f), de/ et de 'f, en vertu du lemme précédent, ce qui démontre la proposition.

247. Comparaison avec l'intégrale de Riemann. — Pour que l'intégrale de Lebesguesoit une généralisation utile, il faut qu'elle renferme celle de Riemann comme cas particulier. Nous allons montrer qu'il en est ainsi, à l'aide des propositions suivantes :

1° Si f est intégrable (R) dans {a, b), l'ensemble E de ses points de discontinuité est de mesure nulle.

En effet, soit sj, zo,... £„,... une suite positive décroissante tendant vers 0. Désignons pai Ei l'ensemble des points où l'oscillation de/ est > £i et, en général, par E« celui où cette oscillation est > s» mais <C £„i. Chacun de ces ensembles est de longueur nulle {n° 244), donc aussi de mesure nulle, et l'ensemble E qui est leur somme est de me' sure nulle (n^J 78).

2° Une fonction f est mesurable dans tout intervalle {a, b) où l'ensemble de ses points de discontinuité est de mesure nulle.

En effet, les seuls points-limites qui manquent à l'ensemble E (/^A) sont des points de discontinuté de/, dont l'ensemble est de mesure nulle. Donc l'ensemble E(/> A), différence d'un ensemble fermé et d'un ensemble de mesure nulle, est mesurable (n" 78) et / est mesurable (no 82).

3° Toute fonction f intégrable (R) dans {a, b) est donc aussi intégrable (L) et, de plus, ses intégrales (R) et (L) sont égales.

Décomposons {a, b) en intervalles élémentaires o,- par des points intermédiaires Xi. Soient M/ et mi les bornes de/ dans o/ = Xi — Xi-i. On a, par le théorème de la mo5''enne pour l'intégrale de Ivcbesgue,

^iL)^' fdX'-CM^r.i

26o CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUE

et, en sommant par rapport à i,

HmA :^ (L) j fdx^ M/0/.

Donc l'intégrale de Lebesgue, comprise entre les deux sommes qui ont pour limite commune -celle de Riemann, est égale à cette dernière.

248. Intégrales de fonctions non bornées. Fonctions sommables, —

1° Soit d'abord f{x) une fonction non négative. Supposons-la mesurable, mais non bornée, dans l'ensemble mesurable et borné E. Définissons la fonction /« comme égale à/si/^ «, et à nsxf^n. L'intégrale de/dans E est, par définition, la limite (finie ou infinie) de celle de/„ quand n tend vers l'infini.

Si cette intégrale est finie, la fonction/est sommable dans V ensemble JL (^*) .

Si la fonction/ n'est pas sommable, son intégrale dans E est infinie positive.

Si une fonction est sommable dans un ensemble E, elle n'y devient infinie que dans un ensemble de mesure nulle. En effet, dans le cas contraire,/; serait ^ n dans l'ensemble, de mesure a, où /"est infinie, son intégrale serait donc > 7/oc et croîtrait à l'infini avec n.

Ces définitions s'étendent aux fonctions non négatives par un simple changement de signe.

2° Considérons maintenant une fonction/ de signe quelconque. C'est la différence /i -^ /à de deux fonctions non négatives, /i étant égal à /ou à 0 selon que/ est > 0 ou < 0 et /g égal à/ ou à 0 selon que / <^ ou > 0. La fonction / sera dite sommable dans r ensemble E (borné), si/i et/o sont tous deux sommables dans E et alors l'intégrale dans/est, par définition, la différence de celles de /i et de /o. Nous ne nous occuperons pas, dans ce chapitre, du cas où l'ensemble E ne serait pas borné.

Si les fonctions/ ou/o n'étaient pas sommables, nous n'attribuerions à /aucune intégrale.

Il suit évidemment des définitions que nous venons de donner que, si une fonction est sommable, sa valeur absolue l'est aussi, et réciproquement.

249. Propriétés des intégrales de fonctions sommables. ^- l. Si f est

sommable dans un ensemble E, à tout nombre positif 2£ correspond un nombre 0 tel que Pintégrale de / soit de valeur absolue < 2£ dans toute portion de E de mesure < o.

Il suffit de faire la preuve pour une fonction /non négative. Défi-

(*) M. Lebesgue n'appelle sommables que les fonctions partout finies. Nous ne faisons pas cette restriction,