DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS

nissons/« comme dans le ii" précédent et prenons n assez grand pour que l'on ait, ce qui est possible par hypothèse,

fn dx < £.

Cette relation subsiste a fortiori si l'on 3' remplace E par l'une de ses parties Ei. Il s'ensuit que le nombre S du théorème peut-être fait égal à £ : M, car on aura, dans toute portion Ei de mesure < 0 = s : «,

I fndx <no <iz, d'où fdx<i2t,

II. Soit E l'ensemble-somme d'un nombre fini d'ensembles Ei, Ej,... sans points communs et dans lesquels f est sommable, f sera encore sommable dans E, et l'on aura

(1) \fdx={-\- ( fdx +

JE JK^ jEo

Il suffit encore de faire la preuve pour/ non négatit. Dans ce cas, on a, quelque grand que soit n (no 246, II),

(2) i/.dx^ r + r/„rf^+

(f.dx^ f + ( fndx

Je M^ JEo

Quand n tend vers l'infini, le second membre de (2) a pour limite le second membre de (1), donc le premier membre de (2) a une limite finie, et celle-ci est par définition le premier membre de (1), ce qui prouve les deux parties du théorème.

III. Si E ( borné) est la somme d'une infinité d'ensembles sans points communs El, E2,..., la formule (1) subsiste eticore pourvu que f soit sommable dans E.

Posons, en eftet,

E = Ei + E,+...+ E«+R„.

Quand n tend vers l'infini, la mesure de R« tend vers 0. Donc, par la propriété I,

lim I fdx ^ 0.

Ceci entendu, on a, par la propriété II,

fdx.

Faisons tendre n vers l'infini, le dernier terme tend vers 0 et la somme embrasse tous les ensembles E„, ce qui prouve le théorème.

IV. La somme f d'un nombre limité de fonctions f, f ,.,..., sommables dans un ensemble E, est sommable aussi et l'on a

{jdx = {fdx^-{f,dx-V

262 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE

Soit (/)n une fonction égale à /ou à N selon que /est < ou > N. Définissons {fk )\ de la même façon par rapport à /a- ; nous avons

d'où, en intégrant (n» 246, IV),

f(/)N^.v< [ (/)n^^+ [{U^^dx^...^ [fdx.

Je Je Je Je

Faisons tendre N vers l'infini. Par définition (no 248), la somme du milieu dans ces dernières inégalités a pour limite le second membre de l'équation (3), tandis que les deux membres extrêmes (qui comprennent cette somme) deviennent tous deux égaux (à la limite) au premier membre de la même équation (3). Celle-ci est donc démontrée.

V. Si f est somniable dans E, on peut encore, cotmne on l'a fait (no 246) pour définir l'intégrale d'une fonction bornée, construire, au moyen d'une échelle de nombres h, deux sommes :

s =^ S//i ei, S = -Z/^/,

Vune inférieure, l'autre supérieure à l'intégrale de f dans E, et aussi voisines que l'on veut l'une de l'autre.

Pour simplifier, considérons seulement une fonction/ non négative. Soit e un nombre positif aussi petit qu'on voudra. Formons une échelle croissant de 0 à co par degrés < i :

lo = 0,li,h,...h,...

Soit ei l'ensemble (ou la mesure de l'ensemble) des points où l'on a li-i ^ / < li. Abstraction faite d'un ensemble éventuel de mesure nulle où/ serait infini et que nous pouvons négliger pour l'intégration, nous avons E = ^i + ^2 + ••• î par conséquent (par la propriété III),

(fdx^ S { fdx; Jr '■ Je,-

puis, en appliquant dans chaque e/ le théorème de la moyenne,

s = ^h-^i e: <: { fdXr^ lu- = S.

i Je

Enfin S — 5 est aussi petit qu'on veut avec î, puisque, les degrés étant < £, nous avons

S — 5 = 2 (/,• — h-i) es < zlci = s{mE).

VI. Inégalité de Schwarz. — Si f^ et <p^ sont sommables dans E, /^ l'est aussi, car il est de valeur absolue moindre que f^ -\- o^, et l'on a

ij/''"'y<(j/""')(i'°--'^}

DÉFINITION ET PROPRIETES 263

Si /et 'f sont constants dans E, les deux membres sont identiques. Si y et «p ne sont susceptibles que d'un nombre limité de valeurs finies, l'ensemble E se partage en un nombre limité d'ensembles de mesures Cl, e-î,... où y" et cp prennent les valeurs constantes Ui, bi ; Ui, bz ; ... et l'inégalité précédente revient à

(^1 bi Cl + a-z b-î e., -\- •••)' < {al e^ + a\ e-, + •■•) {Jb\ ix + b\e. + •••)

ou, en posant «i = Ai : V^i> ^i = Bi : V^i- etc.

(Af + A| + -)(Bï+B| + -)-(AiBi + A,B, + ...)^^0, ce qui est exact, car le premier membre est une somme de carrés :

(AiB.3-A,Bi)-^ + -

On passe ensuite au cas où/et'-psont bornés quelconques, puis sommables, par de simples passages à la limite comme précédemment (nos 246, IV et 249, I).

250. Passage à la limite sous le signe j". — Considérons une suite de fonctions /i,/,,... /«,... sommables dans un ensemble E et tendant vers une limite (finie ou infinie)/. Cherchons sous quelles conditions nous aurons

(1) lim [fndx= [fdx.

«=«> Je Je

Voici le théorème fondamental :

Théorème I. — V équation (1) est légitime si les fonctions fn sont bornées dans leur ensemble, c est-à-dire quels que soient n et x (Lebesgue).

En effet, dans ce cas, la fonction-limite/, étant bornée aussi, a une intégrale finie et déterminée. Il suffit donc de montrer que l'intégrale

[{f-fn)dx JE

a pour limite 0 avec i : n, c'est-à-dire qu'elle peut être rendue aussi petite que l'on veut à condition de prendre n assez grand.

Soit t un nombre positif, ensuite E^ l'ensemble des points où 1/ — /« I > £. Faisons la décomposition en deux intégrales :

{/-f^)dx+ ( {/-/.) dx.

({f-/n)dx= \ {/-/>.) dx+ (

Je .k-e^^ Je„

La première est aussi petite qu'on veut avec t, en vertu du théorème de la moyenne (/ — /« étant de valeur absolue < t), il suffit donc maintenant de démontrer que l'intégrale

(2) f {f-fn)dx

tend vers 0 avec i : n.

264 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUË

C'est ce qui résulte, dans ce cas-ci, du théorème connu (no 85) sur la convergence, en vertu duquel wE« tend vers 0 avec i : «. La fonction sous le signe étant bornée, l'intégrale tend vers 0.

Théorème. II. — Plus généralement, Féquation (1) est légitime si les fondions /„ sont toutes de module inférieur à une fonction Positive sommable o.

En effet, la valeur absolue de la fonction-limite/ ne surpasse pas «f, donc/ est sommable. Comme on peut négliger l'ensemble de mesure nulle des points où l'une des fonctions serait iniinie, tout revient, comme dans la démonstration précédente, à prouver que l'intégrale (2) tend vers 0 avec wE«. Ceci résulte immédiatement de ce qu'elle est inférieure en valeur absolue à l'intégrale

2* dx, h„

laquelle tend vers 0 avec ;«E« (n^ 249, I).

Théorème III. —Lorsque la suite fx,f ■:,... fn,... est positive et non décroissante, on a toujours

lim fndx = fdx,

{fndx^ r

mais les deux membres peuvent être infinis en même temps.

Ce théorème est un cas particulier du précédent si/ est sommable, puisque/» ne surpasse pas la fonction positive sommable <p =/. Il reste seulement à montrer que, si /n'est pas sommable, le premier membre de l'équation est infini.

Soit (/)n une fonction égale à/ ou à N selon que/ est :^ ou > N ; définissons (/«)n de la même manière relativement à/». Ainsi la suite bornée (/i)n, (/2)n,... tend vers la fonction bornée (/)n et il vient, par le théorème I,

lim f/„^.r> hm {{f„)^dx= [ {f)^dx.

La dernière intégrale est infinie avec N, donc la première (qui est indépendante de N) est infinie.

Théorème IV. L'équation (1) est légitime, si à tout to positif correspond un S positif tel quon ait, quel que soit n,

(3) j î/« dx

sous la condition que F soit une portion de E de mesure < 0. Cela étant, f est sommable dans E.

Montrons d'abord que/sera sommable dans E. La condition (3) est de telle nature que si elle a lieu pour /« elle a aussi lieu pour