Pour le paraboloïde -I- -, = 2z. on a

+ *+;^V/l+S+FP + a<1+S + ©3 = a

4. Maximum ou minimum de la distance d'un point P (x (3 y) à nue surface.

Soit x, y, z les coordonnées d'un point A de la surface; posons

u = (« «)• + (y - p)i + (; - y)2. Si l'on considère z comme fonction de x et y, on a

du = [a — a -j- p(* — Y)]ûte + [y — ? + q(z — y)Ky.

Les coefficients de dx, dy doivent être nuls; on en conclut que la droite PA est normale à la surface. On a ensuite

l d*u = [ 1 + p^ + r(z - r)]^2 - h 2[ pq + *(* - Y) ! ctedy

Pour discuter le signe de <Z2», plaçons l'origine en A, et prenons pour

plans coordonnés les sections principales et le plan tangent ; alors

Le maximum et le minimum de « exigent que d2u ait un signe invariable,

ou que le produit (1 — — ) ( 1 — soit positif; donc P doit se trou-

V Pi/ V P«/ ver en dehors du segment u)jto2 ou sur ce segment suivant que A est un point à courbure convexe ou à courbures opposées (wj, to2 désignent les centres de courbure principaux).

5. Rayons de courbure principaux en un point Aux. y, z\ de la surface ayant pour équation F(x, y, z) = 0.

Pour simplifier l'écriture nous posons

dF ÔF d¥ <T-F d*F 0<F

doc - * l' dy ~ *2' Jz ~*3'dœ* ~ ' u ôy* ~ *2' dz* " * 331

<PF d°-F ôxdy dydx

Considérons une section normale IAB : soient a, 3, y les cosinus directeurs de la tangente en A, a Tare IA, 1) la distance du point B( x -}- fax,...) au plan tangent. On a (359)

„ F,A« + F,Ay + F3A, F, (^ + ^ +...) + ■■. VFï-fF| + F| V

V désignant le radical. Comme SFjÀjc = 0, on trouve

F^2* -f F2d2!/ -\-F3d~z L'équation SFjd^c = U donne, par différentiation,

lFlxdx" + 2SF18oferfy H- SF^-r — 0;

ÎF^ =F2SF12<&% "= ~~ -Fna- + 2SF]7âp

donc R -= —

Pour obtenir les sections principales nous cherchons le maximum et le minimum de

Vrn

= -'Fna2 + 2SF13<4.

les variables a, [3, y étant lices par les relations

Fj« + F,P + F,y « 0, (2); s2 .+ P2 + Y2 = 1- (3)

Le maximum et le minimum absolus 168) de

ï« + MF,a -f F23 h P,Y) + s K«2 + ?' f Y* - i;

exigent

\d£ + xf, + ,* = o, ig + xf2 + rf = o, i ;;:; -i-xF3 f ,v o.(4.

Ajoutant les égalités (4> après multiplication par 2. 3, y et tenant compte de (1), (2) et (3), on obtient « ~\- jjl = 0. Si Ton remplace \>- par — ri, les équations (4) deviennent

(Fu-M)a + F12M-F13T -4-^=0, ,

F21« -h (F22 - u)$ + F23y -f- XF2 - 0, (5)

F31« + F32P + (F33 - ")y 4- ÀF3 ==0. \

Entre les équations (5) et (2) on peut éliminer a, 3, Y, À: on trouve

Il reste à remplacer a par —

Fll-

G. Trouver les ombilics de la surface V x, y, z) — 0. On a (voir exercice 5)

SFna2 + 22:F12ap

si L'on remplace Y par sa valeur tirée <lc IT',* - 0, on trouve pour n une expression de la forme

A,*2 + 2B3ap h Aty C2a* + 2D3ap + C1P2'

qui doit être indépendante du rapport a : (3; ce qui exige

A2 __ Bg A, C2 "Dg-'C,

Par analogie on peut écrire

Aj A., ^8__.?j ?? ?J!

C, C,""C8'SSD1 ~D2 L)n'

où A, - F:F33 + F§F22 - 2F2F3F23, CL = F; -b Fi ..,

B, = FïF23 +- F,F3F11-F1F2Fl,-F1F3F12, D, = F2F3, ....

7. Trouver sur une surface donnée le lieu des points qui ont des indicatrices semblables.

On exprime que — — a une valeur constante.

S. lies lignes de courbure de la surface ez = cos x cos y ont pour équation différentielle

dx dy

cos x cos y

9. On appelle Z/^/te asymptotique d'une surface une courbe qui, eu chacun de ses points, touche une asymptote de l'indicatrice correspondante. L'équation différentielle d'une ligne asymptotique est

dpdx -\- dqdy = 0, ou rdx~ -f- 2sdxdy -\- tdy% = 0.

10. Lignes de courbure du paraboloïde hyperbolique équilatère z L'équation (4) du s: 374 donne

(a2 + x2) dy2 — (a2 + y'2) dx2 — 0,

dy dx

Va2 -f // " Va2 -h s5