Equation différentielle des lignes de courbure. — En
un point d'une ligne de courbure, les cosinus directeurs de la tangente vérifient l'équation (4) du § 369; car cette tangente coïncide avec la tangente menée à l'une des sections principales
. i o« iî i o dx dy
passant par A. Si Ion remplace cos a, cos S par —=-* ; > on
th (h
obtient l'égalité
rdx -j- sdy sdx -\- Idy
(1 + p2) dx -f- pqdy pqdœ -f- (1 -f- q1) dy
les différentielles dx, dy se rapportant à la ligne de courbure.
L'équation (lj est l'équation différentielle des lignes de courbure.
374. Normalie développable- — Les normales à une surface S le long d une courbe L tracée sur la surface engendrent une surface réglée, qui a reçu le nom de normalie; L est la directrice de la normalie.
Pour qu'une normalie soit une surface développable, la directrice doit être une ligne de courbure de S.
Pour démontrer ce théorème, nous exprimons que les normales menées à S le long de la directrice L sont tangentes a une même courbe L' (263). Soient x, y, z les coordonnées d'un point A de L, et a, b, c celles du point N où la normale en A à la surface S touche L'; ces quantités peuvent être considérées
Xeuberg, An. inf., i .. 23
comme des fonctions d'un même paramètre. La normale en A à la surface S a pour équations (279)
X — x + p(Z — *) = 0, Y — y + gr(Z — a) = 0 ;
comme elle passe par X, on a
Les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels aux quantités /;, q, — 1 ; ceux de la tangente en X à L' sont entre eux comme les différentielles da, db, de. 11 en résulte
da db ou da -{- pote = 0, ofô -\- qdc = 0. (3
Différentions les équations (2) :
da — dx -j- 7>(//c — ofe) -f- (c — z) dp — ( >, db — rfv + ?(tfc — dz) -f (c - s) r/7 = 0,
et réduisons au moyen des égalités (3) :
dx -f pdz — (c —z)dp - 0, '/// -f qdz - (c — cVfy = 0.
Ces égalités donnent
d'où, en substituant les valeurs
û?5 = pdx -f- gc?y, <7/> = rdx -f- St/y, g?? == sdx -f- fcft/ :
(1 + ?r j^j? + pqdy __ ^efa? 4- ( 1 -{- g2)o?y
rc/i' '[- sdy sdx -f- A///
On retrouve ainsi l'équation différentielle des lignes de courbure.
375. D'après l'équation (4) du § 309, les valeurs (5) de c — s
sont égales à - ou à -7= • 0 désignant le rayon de cour-
bure de la section principale tangente en A à la ligne de courbure ; donc si À, ;j-, v sont les angles directeurs de la normale
AX, on a
p c — z = -7— = s cos v. G
(.'eue égalité montre que AN- = p; doue X est le centre de courbure de la section principale touchant la ligne de courbure en A.
L'arête de rebroussement L' |d'une normale développable est donc le lieu des centres de courbure des sections principales qui touchent la directrice L en ses différents points.
376. La droite NA étant tangente en X à la courbe L' et normale en A à la surface S, on a
da db de
COS A COS [J. COSv
En projetant AX sur les trois axes on trouve
a = x -f p cos À, 1) = y -\- p cos |x, c = z -\- p cos v,
De ces égalités on conclut
d(x -\- p cos À) d(y -|- P eos ;jl) c?(s -j- p cos v) COS X COS \). cos v
dx -f- p rf cos À rfy -j- p r/ cos [j. r^ 4- p d cos v
COS À COS [). COS v
La valeur commune des rapports (7) est zéro, comme on le voit en faisant la somme des antécédents et celle des conséquents multipliés respectivement par cos X, cos ;j., cos v. On a donc
dx 4- pd cos À -=0, dy -\- od cos \j. = 0, dz -\- pd cos v = 0,
dx dy dz
d'où
d cos X c/cos m- d cos v
les différentielles se rapportant à un déplacement du point (x, //, z) sur une ligne de courbure.
377. On trouve quelquefois les lignes de courbure d'une surface en cherchant les lignes jouissant de la propriété que les normales menées en leurs points à la surface forment une surface développable.
Ainsi, sur une surface de révolution, les lignes de courbure sont les parallèles et les méridiens. Car les normales à la surface menées le long d'un méridien sont situées dans un même plan et forment, par suite, une développable ; les normales en tous les points d'un parallèle rencontrent l'axe de
révolution en un même point et, par suite, forment un cône, qui est aussi une surface développable.
Observons aussi que les centres de courbure principaux en un point A de la surface de révolution sont le centre de courbure de la méridienne passant en A et le point de rencontre de la normale en A avec l'axe de révolution.
De cette dernière remarque on conclut que la surface engendrée par une chaînette tournant autour de sa directice, est un élassoïde.
Un premier système de lignes de courbure d'une surface développable est constitué par les génératrices rectilignes ; car le plan tangent étant le même en tous les points d'une génératrice, les normales en ces points sont situées dans un même plan. Le second système est formé par les trajectoires orthogonales des génératrices
Lorsqu'une sphère se meut de manière que chacune de ses positions dépend de la valeur d'un seul paramètre variable, elle enveloppe une surface dont un système de lignes de courbure est constitué par les caractéristiques de la sphère; car les normales menées le long d'une caractéristique étant communes à la sphère et à l'enveloppe, sont les génératrices d'un cône, qui est une surface développable.
Exercices et notes.
1. Les rayons de courbure principaux de l'ellipsoïde au point M (x, r. z) sont donnés par l'équation
p* . (at + f + e- - «t . y* z*) i | a"y „ o,
où p est la distance du centre au plan tangent mené en M.
