I. La règle des fonctions de fonction (45) donne

dx dx2

dy dy dx dt dos ' dt

Dérivons cette égalité plusieurs fois de suite par rapport à /

i dy d2Y , " . . .

en regardant .' > r~y •• comme des fonctions de ionction de / : dx dx2

il vient

d->/ d'2y fdx\2 , dy d'2x dt2 ^ dx* ,df ) ' dx de '

d3y d3y fdx\z d2y dx d'2x dy d3x W '" dx* [dt ) ' dx^dt dt- ' dxdë '

Ces formules résolvent le premier problème. II. Pour le problème inverse, il suffirait de résoudre les équations précédentes par rapport à / » ; \ • ••• Mais on arrive plus

dx dx- t

directement au but en considérant y et x] ou y' et x (*), ou y"

(*) y\ y", ... désignent les dérivées

dy d2y

j dx dx2

et .y, ... comme fonctions do / et. en appliquant La règle relative à ce eas (76). On trouve ainsi :

, du dx J dl dt

dt/' dt/' dx

dx dt ' dl

dt/" dy" dx

dx dl ' dt

Remplaçons, dans la seconde égalité, y[ par la valeur (4j; il vient

dx dzy dy d2x

dl <it- ~ dl de

'dx

■il

Portons cette valeur de y" dans celle de y" : nous aurons

dx (dx (P// dt/ d*x\ d2x (dx d2y dt/ d2x

... dï\dt <//'■' "dt dl'3)"' dt* \dt dl- ~ dt dl-

'dx

Et ainsi de suite.

On obtient des formules pins simples, niais pas essentiellement différentes des précédentes, en différenciant les deux membres de l'égalité

dy

dx

où dy, dx sont des différentielles par rapport à /. On trouve

dxd2t/ — d//(l2.r dxd2y — dud2x

y dco ■ /r: ■ , ou y -- ' -dxi ■ ■

Une nouvelle différentiation donne

dx(dxd*y — dt/d3x) — 3d2x(dxdzy — dydr v)

dx-