Remarque. — La formule fondamentale

dy = y'dx,

subsiste, soit que y est fonction de v, soit que .v et y sont fonctions d'une même troisième variable t. Mais si Ton différent ic cette formule, on trouve, dans le premier cas,

dzy = y"dxz,

dx étant traité comme une constante; dans le second eus, dx est l'onction de / et l'on a

dhj = y"dx2 -f y'd-x.

Le défaut de concordance entre ces deux valeurs de dzy

explique pourquoi le changement de variable indépendante ne

peut se taire en remplaçant , , par -,■-.- ,,„ • 1 L J dx2 l ®'2(t)dtz

380. Cas particulier. — Prenons y pour variable indépendante et désignons par x', a1", ... les dérivées de x par rapport à y.

Nous aurons d'abord

J x" puis, en dérivant les deux membres par rapport a y :

dx x" ,, x"

y"¥y^-^ony"

x^xm—%xnzx]2

' ou //

('es formules sont comprises dans celles qu'on a trouvées ci-

dy ,

dessus : elles correspondent à y = t, de sorte que

d-v , d3y A <//- ' dP '

381. Applications. — I. Transformer l'équation différentielle

en prenant pour variable indépendante / = arc cos a\ ( )n a

x = cos t, — =— = — sm £, rs = — cos £;

introduisant ces valeurs dans les formules (4) et (5), on obtient

dy 1 dy d'y 1 d2y cos t dy

dx siii t dt ' '/.>•- sin2£ dt- sin3 £ rfr

* iii du dzu ,,. . ,

Au moyen de ces valeurs de x, , » , , > 1 équation undevient

II. Le rayon de courbure II d'une courbe représentée par l'équation y = F(a:) est donné par la formule (214, 226)

trouver R lorsque la courbe est définie par les formules x — »(/),

En faisant usage des formules (7j et (8), on trouve

R (c^2 + W (Lvd~i/ — dyd2x

382. Changement de toutes les variables. — Soient, par exemple,

deux relations qui définissent x, y en fonction de iz, t. Nous

supposons en outre une relation o(x, y) = 0 entre x et y; si l'on

relation ip(M, /) = 0. On peut donc considérer u comme fonction

rf\' d^ v de / et se proposer d'exprimer les dérivées ; , ,--•■• au moyen