Lignes hyperboliques. — Les valeurs de cos (xi) et
sin (xi)
sont réelles; on les appelle cosinus hyperbolique et
sinus hyperbolique de .v, et on les désigne par Ch.v et Sh.v. On a donc
oS __] /? — X /;X p — X
Ohtf= -1-- • Sha?=*- s-- • (12)
On considère encore quatre autres fonctions hyperboliqm analogues aux fonctions circulaires tg, cot, sec, coséc, savoir
m. S h x cx — c~x e2x — 1 . , ,. C\\x 1
Thx = = i Coth ' ■ --
dix rx 4- e~x c-x -f- 1 Sh a? I h x
Séch x - -7^-.— i Coséch x- = .,
( h a? Sh x
Il existe, entre ces fonctions, des relations qui ne diffèrent pas des formules trigonom étriqués connues, ou qui ne s'en distinguent que par les signes de certains termes. Par exemple ;
Ch-a' — Sh2.*? = 1,
S h (x -f- y) = Sh x Ch y -f- Sh y Ch x\ Ch (a? + z/) = Ch a; Ch y + Sh x Sh y, ,rl - , , Tha? - Th//
Sh 2a; = 2Sh x Ch a-,
Ch 2x =-■ Ch2a? + Sh2a;,
Sh 3a; = 3Sh x + 4Sh3a?, etc.
Pour démontrer ces relations, on peut partir des formules trigonométriques correspondantes. Ainsi, considérons l'égalité
cos(.*? + y) = cos x cos y — sin x sin y.
Si l'on y substitue à cos x, cos y, sin x, sin y, cos (x -f- y) leurs développements en série, on doit trouver une identité. Cette vérification étant indépendante des valeurs particulières de a* et y, on peut remplacer x et y par xi et yî; donc
cos (x -f- y)*' = cos (oui) cos (y/j — sin (xi) sin (.?//). Or cos (xi) = Ch a?, sin (a?z) = /Sh x, etc.
Les formules suivantes se vérifient encore facilement :
Ch(— x) = Cira;, Sh(— x) = — Sha\ Cho ="l, Sho = 0,
Ch oo = oo, Sh oo = oo,
dShx ~, dChx
— ; — -Cho;, ; = hhx.,
dx (fx
Sh x dx = Ch x, Ch x dx = Sh a?, ., Th .r.
Tli(—
= — Tlu
Th o
Th oo
tfTha?
~Ch2a? '
397. Représentation géométrique. Soi! AM // un arc quelconque AM pris sur la circonférence trigonométrique
(fig> io4)-
Fi8- I()4 Fis: 100.
ni
En effectuant les constructions bien connues, on a
sin u MP, eos ?t - OP, tg w = AT, cotg a = I iS.
On a aussi séc u = OT, coséc u OS: mais en menant en M la tangente qui coupe OA en T', OH en S', on peut aussi écrire
séc u = OT', coséc u — OS'.
Considérons maintenant une hyperbole équilatère M'AM (fi g. io5), rapportée à ses axes principaux OA. OH et ayant pour équation
L'analogie de cette équation avec la relation
( 'h-./- --- Sh2# = 1
nous conduit a prendre, pour coordonnées d'un point M de la courbe.
x CL u , J = Sli //.
u étant un paramètre variable.
Soient : MP l'ordonnée de M, Tel S les points où le rayon O.M rencontre les perpendiculaires élevées par les sommets A, H sur
les axes, T' cl S' les points on la tangente menée en M coupe les axes. Les triangles semblables OMP, OTA, ()SI> donnent
Th^ = AT, Cothw BS;
et de l'équation de la tangente Ml" : ,v.\ — y Y = 1, on déduit
Séch u 01", Coséch u = — OS'.
Il y a donc nue analogie complète entre les lignes trigonométriques et les lignes hyperboliques. Cette analogie s'étend an paramètre u, si l'on observe que le secteur circulaire MO.M'a pour expression u.
En effet, soit Y Taire du secteur OAM (fig\ io5). On a (211)
ru
(xdy — i/dx) ;
d'où, à cause de
x — V\\ )<< y = Sli u, dx = Sh u du, dy = Ch u dit :
U -^ (Ch2w — ShWw- ' du.
Le point A correspond à 7/ = 0; donc si u est la valeur du
paramètre au point M, \J = -- Par suite u est l'aire du secteur OM'AM.
398. Fonctions hyperboliques inverses. — 1° On désigne par Arg Sh X la quantité dont a* est le sinus hyperbolique. Soit y cette quantité.
De l'équation y = Arg Sh x on déduit
x - Sh// = <:> (ey — e~y).
Le système
e> — e y = 2x, ey e >' = 1
donne, si l'on élève la première équation au carré el qu'on ajoute ensuite la seconde multipliée par 4,
ey | e-y 2\"l-f-tf2.
Par conséquent
& — a? + VÏ + i», y = /(* + Y'i + ï
Ainsi Arg Sha l(x \ \1 | a?2).
De cette égalité, on tire
<l . Arg S ha; C dx
\ oc' + 1 J y
doc \ ,r;> -f 1 J\/œ2 + l
2° On trouve de la même manière
= Arg S1k/'.
d. Arg Ch.r
Arg Char = J(a> -f- \^2 — 1), 1 C dx
Arg Clia?.
doc ' \ œ-2 j J \/^]
3° Posons y — Arg Tluv. Cette équation donne, successivement,
x = Thy
Donc
ey ^ e-y ezy 1 — X 1 — #
Arg Tlia? = - l - »
o?. Arg Tha?
oc-
Ç dx
Arg Tha?.
Exercices et notes.
1. Mettre l'imaginaire (a -j- /;/)a+iJl sous la forme x -f- yi
On met d'abord a -f- M sous la forme e' 2. Démontrer les formules
