Opérations sur les exponentielles imaginaires. - Les

séries

sont absolument convergentes pour toutes les videurs de x et y ; on peut donc leur appliquer le théorème (388) ; ee qui donne

eVy= 1+ 1 -h. 2 +1.2.3

"V i il 1.2 1 4- y-*-+ '" y-a

Le fn -|- 1 )r ternie du produit est

On en conclut

Le second membre est la série (l) dans laquelle x est remplacé par x 4 y- ()l1 a donc pour toutes les valeurs de x et y

\-/jy y,\ . y

On voit que le produit de deux ou plusieurs exponentielles cx, ey, e7- , ... s'obtient en faisant la somme des exposants.

La règle de la division suit immédiatement de ce qui précède :

De même (ex)m ===== emx,

du moins si l'exposant m es/ entier.

392. Module et argument derx|}i. — Des formules 4) el -. on déduit

cx--.v = e*eyi ex(cos y | i sin y).

Donc, V exponentielles* • -vi a pour module ex, pour argumenty. Logarithmes imaginaires.

393. On appelle logarithme népérien dune quantité quelconque, réelle ou imaginaire, l'exposant de la puissance de e qui reproduit celle quantité.

Soit x + yi le logarithme de l'imaginaire <w j- bi, de sorte que

gx+yi = a J fo

Ramenons <w -f- bi à la forme trigonométrique r(eos 0 -j- * sin 9) et remplaçons ex Kvi par ex(cos y h i sin y) (392) ; nous aurons

ex(cos y -j- / sin y) == r(cos 0 -h ' sin 0).

L'égalité de deux imaginaires exige que les modules soient égaux et (pie les arguments diffèrent d'un multiple de 2~ ; on a

donc

ex __ r^ y f) | 2nTT.

Pour désigner un logarithme en général, nous nous servirons de la caractéristique À, réservant la lettre / pour les logarithmes népériens réels. L'égalité ex = r donne x = Ir; donc

X(a -f- bi) =x-\- yi - Ir 4- (6 -\- 2mz)i. 8)

Ainsi, ?z/îe quantité quelconque a une infinité de logarithmes, qui forment une progression arithmétique de raison 2~i.

394. Cas particuliers. — 1° Soit N" un nombre positif; son argument étant égal à zéro, la formule (8) donne

XN =*= IN ■ 2mzi.

Ainsi, loul nombre positif a un seul logarithme réel, el une infinité de logarithmes imaginaires.

2° Un nombre négatif a pour argument «; il en résulte

X(— N) =JN | (2n + 1)-;.

Donc /es nombres négatifs nont pas de logarithmes réels.

3° Les imaginaires Ni, — Ni ont pour argument-* ~; donc

X(N*J =«= IN -f (4n -f- 1) */, X(— N/) = JN + (4n + 3) 1 1. Si l'on fait N = 1, h -— 1 ou 0, les égalités précédentes donnent M = 2™, X( 1) = m, h -= 2 , a( i) = — ;

OU <?2Ki = 1, 6-5= -1, C'2 =2,

Les dernières formules peuvent se déduire directement de l'équation (4) du § 390.

Lignes hyperboliques.

395. Valeurs de sin (xi) et cos (xi). — Par définition (389),

oobM=1+ J.2-I-L2.3..1 + --' <9)

"n^-'U+1.2.3+1.2.'L.5 + --} ('0) Or, si l'on combine par addition et par soustraction les égalités

on obtient

/, xz x4 \

Les formules (9) et (10) peuvent donc prendre la forme

cx 4- e~* sin (xi) cx — e cos(^)= 2 ' t- -= — 2~ • (IL

On peut les déduire des relations (6) en changeant x en a*/.