CHAPITRE XXV
QUESTIONS DTVEPvSKS DE GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE.
Courbes gauches.
430. Formules de Frenet. — Pour démontrer ces formules, nous croyons utile de revenir sur des notions déjà développées (251, 260). Nous emploierons de préférence le langage des infiniment petits.
Considérons une courbe gauche A définie par trois équations paramétriques (237)
x = ?(7), y = ©,(*), z = 9s(fi.
A chaque point M(a*, v, s, /) de cette ligne correspondent trois droites remarquables : la tangente MT (menée du côté des / croissants), la normale principale MX (dirigée vers le centre de courbure) et la binormale MB (tracée dans un sens tel que les trièdres MTNB et OX.YZ soient semblablement orientés). Leurs angles directeurs seront désignés par (a, (5, y), (À, ;j., v), (/, m, n).
Par l'origine des coordonnées menons les droites Ou, ()/>, On (*) respectivement parallèles à MT, MB, MX et limitées en »jl, b, n à la sphère décrite du centre 0 avec l'unité pour rayon. Lorsque M parcourt A, les points ;j., b, n tracent sur la sphère ( ) trois courbes S, oM 82 que nous appellerons2 première, deuxième et troisième indicatrice; ils ont pour coordonnées
(cos a, cos (3, cos y), (cos l, cos m, cos ?i), (cos À, cos ;jl, cos v).
Soient ;j.', b\ n' les points de ces courbes qui correspondent au point M' de A infiniment voisin de M.
Les cosinus directeurs de MT ont les valeurs (242) :
doc. dy
COSa=-~t COS fi = j
COS V
(") Bien que les lettres ;j. et n désignent ici à la fois des angles et des points, ce double emploi ne crée pas d'ambiguïté.
L'angle de contingence : en M a pour mesure l'arc infiniment petit pijx'de la première indicatrice ; on en conclut immédiatement
z2=- (rfcosa)2 -f (o?cosp)2+ (a? cos y)2. (2)
On a pour les cosinus directeurs de la binormale M H 248) :
cos l = =-> cosm = -i eos " . ■ 3
L'angle de torsion elf égal à l'angle de deux binormales consécutives MB, M'B' a pour mesure l'are infiniment petit bb' de la seconde indicatrice ; par suite
e'ï = (d cos £/2 H- (d cos m)2 -J- (d cos n)z. (A)
Désignons par (O, o), (OoJ, (O, S2) les trois cônes qui ont pour sommet commun l'origine des coordonnées et qui passent respectivement par les trois indicatrices.
Le plan oscillateur passe par la tangente MT et est parallèle à la tangente infiniment voisine M'T' (250); on conclut de là qu'il est parallèle au plan qui touche le cône (O, o) le long de ();>.. La tangente ;j.a [fig. 55) à la première indicatrice est donc située dans un plan parallèle au plan MTN et est perpendiculaire à une droite 0;j. qui est parallèle à MT ; par suite, la normale principale MN" est parallèle à la tangente ua menée au point correspondant de la première indicatrice.
Les génératrices du cône (O, o,) étant perpendiculaires aux plans tangents correspondants du cône (O, o), réciproquement les génératrices du second cône sont perpendiculaires aux plans tangents correspondants du cône (O, o}) (*) ; autrement dit, ces deux cônes sont supplémentaire*. Les plans tangents au cône (O, oj sont donc parallèles aux plans normaux correspondants de A. Soit bc la tangente à la deuxième indicatrice ol ; cette droite étant située dans un plan parallèle au plan BMN et étant perpendiculaire à Ob (et à MB) est parallèle à MX.
D'après cela, les cosinus directeurs de la normale principale sont égaux à ceux des tangentes correspondantes u.a, bc des
(*) Soient Ojj., Ou', Ofx", . . les arêtes consécutives d'une première pyramide, et soient Ob, Ob', Ob", ... des perpendiculaires aux faces ;/.<>;>•', \y'0[j.", ... de la première face. Ces perpendiculaires sont les arêtes d'une seconde pyramide. On voit facilement que Ou' est perpendiculaire au plan bOb', 0;j-' au plan b'Ob", etc. De deux pyramides supplémentaires on passe aisément à deux cônes supplémentaires.
deux premières indicatrices; or les coordonnées des points |jl, b sont (cos a, cos p, cos y), (cos /, cos /h, cos zij et les arcs infiniment petits \i-\>-\ bb' sont égaux à £, Sj. Donc, en appliquant les formules 1) aux deux indicatrices o5 ôn on trouve
'/ cos i. il cos 8 il cos y
COS A i COS UL = — i COS V -. ' ; (5)
<! cos / il cos m <1 COS H
eos A = • cos v. j cos v = -• (6)
Les angles X, a, / étant ceux d'une même droite OX avec trois directions rectangulaires MN, MT, MB, on a
cos- À -j- cos'-1 y. -f COS2 / 1 ;
d'où, par différentiation,
cos À il cos À f- cos y. il cos x 4 cos / d cos l = 0.
Dans cette relation, remplaçons d cos a, (7 cos / par les valeurs ; cos /., i, cos À déduites de (5) et (6); nous aurons
/cos a , cosn r/ COS A = — (s COS a -j- Sj COS l) = — ( ^ — -j- ,, ) «S|
cos
7C()S;, = (e cos p + e, COS n n — ^ — ' + R J f&, > (7)
^/ cos v — (e cos y + m COS «) =
cos y cos ?i-, R + R,
Les formules (5), (6), (7) sont dues à Frenet.
431. Théorème de Lancret. — Soit £, l'angle de deux normales principales consécutives MN, M'Xf ; il a pour mesure l'arc infiniment petit nn' de la troisième indicatrice. Par conséquent
s; == (d cos X)2 + (//cos fx)2 + (d cos v)s. (8)
Si Ton remplace f/cos A, J cos a, r/co'sv par les valeurs (7), on trouve
r! = £- -j- £j -f- 2££t (eos a cos / 4- cos |3 cos »? + eos y cos ?i) :
le coefficient de ££, étant nul parce que les directions MT, MB sont rectangulaires, la relation précédente se réduit à
