h ' 2Î2n — lf l

X,,. Xj, X.,. ... sont les polynômes de Le gendre ; l'expression 2) de Xn est due a OU nde Rodrigue*.

V uir obtenir des relations entre les fonctions X-,. dérivons l'égalité

u2(\ —2tZ \- ;~) -- l par rapport à c ou par rapport à x, ce qui donne

(1 — 2xz + s2 , + s — a?)H«=0, (1 — 2a?« i :■-) : 164 - 0.

Eu éliminant 1 -'.vv ( z2 entre ces égalités <>n obtient

4 Ou Ou

si l'on remplace u par L'expression (1) et que \\, désigne In dérivée

de \n par rapport à x, les relations (3), (4), (5) deviennent

(1-2.^ -h;2) (X, |-2X.,; h ...) + (z - x) (X0 |-X^ + ...) = 0, (l-2œz + z*)(X\ hX',s2+ ...)— *(X0 hX,3 I ...)== 0, (5 — ^(X', hX'2s2+ . .) + *(X, -K'X,.; I-...)-- 0.

Egalons à zéro le coefficient de c" dans ces identités; il vient

(■il - l)Xn+1— (2n 4- l)*Xn-f »X„ , 0, (6)

X'n — 2a?X'n 1 + X'n.2 - Xn, = 0, (7)

X'n i - ocX'n + nXn -0. (8)

L'équation (6) sert à calculer les fonctions Xn par voie récurrente en partant des valeurs X0= 1, X, x.

L'équation (7) donne

X'nll-2^X'n-| X'n-, — Xn==0; par soustraction on déduit de (8) et (0) :

X'„+i—*X'n--(»+ l)Xn == 0; en retranchant (8) de (10) on obtient

Une relation importante est

(l— a>8)X"„— 2j?X-'h \ u(u i l)Xn==0. Pour la démontrer, soit v = i.y~ — 1 1" ; de là on déduit

r'(x~ — 1) = 2nvx.

(ii)

Prenons les dérivées d'ordre n -f- 1 des deux membres de (13) en appliquant la règle de Leibnitz; il vient

(,-,.-2 ])/•'■>! ?-}-(,, -\-\)v"\ "2.r-} »(« + l)î?ïn' 2^!^'-"11: ! (u \])r' Or, Xn ne diffère de /> "> que par un facteur constant, etc.