Si p est entier et positif, la formule (A) donne

ri p 1 ri

2 n sinP x dx = — — I 2,wsinP 2o:c?o7.

En remplaçant /) successivement par p — < 2, p — 4, ..., on parvient à l'une des intégrales

U^sinojcfo = 1, U71

•i ri i

dx == -7t.

Il en résulte

sinP x dx = ^^2) ;; 5-3 , Si /) est impair ;

"^71 • n j (P—1)(P — S)...3. 1 ir .

La dernière intégrale a déjà été trouvée ci-dessus (4).

32. Intégration de sinP x, cos** x dx. - Nous indiquons d'abord quelques cas où l'intégrale se décompose facilement en une somme d'intégrales connues.

I. Lorsque l'un des exposants />, q est impair et positif, on trouve une somme d'intégrales de la forme

Ç m . sinm+la? f . . eosm+1 x

smm a? cos x dx =■ — : — 1 cosm a; sm .ce aa? =

Par exemple :

f sin4 a? cos5 a? t/o; =- J sin4 x(l — sin2 a?)2 cos a? c?a?

= J*(sin4 x — 2 sin6 x -f- sin8 07). n? sin a?

sin5 a? 2 sin7 x sin9 a?

f cos3 a? r 1 — sin9' # 7 r / . <• . v * .

— ~ — dx = - — ; — - cos x dx — (siii- °a? — suru'rtsin^

J sin6 a? ! sur x ! v ;

5 sin5 a; 3 sin3 x

II. Lorsque l'un des exposants est pair et positif, on peut ramener l'intégrale à celles qu'on a vues ci-dessus (29). Ainsi :

J sin4 x cos5 x dx = ) (1 — cos2 x)2 cos5 xdx

— J cos5 x dx — 2 J cos7 x dx -f- (* cos9 a? dx ;

f- fi fi -

l 2 sin2 a? cos6 x dx — U71 cos6 x dx — 2r cos8 x dx

fcos4a? f(l — sin2^ , / dx J. / . „

-^^— aa; = — '- dx = -r— 2 ffo? - sm2 a?^a?

J sm2 a; J snra; J sm2 a; ! !

. a? sin 2a'

=r — cot x — 2a; 4- -

III. On peut employer la substitution tg x = z ou cot x — z pour trouver

Ç sinP x Ç cosq a?

) cosp+2na? ^' J sinq+2u # X*

car ces intégrales ont la forme

fsinpa? 1 dx fJ „ „ x , ,