I. A cet effet, intégrons par parties en prenant

u = sin1-1 x, dv = sin a? dx, v = — cos x. Il vient, 3*p désignant l'intégrale proposée,

?/p == — sinP-1 a? cos a? -j- (p — 1) | sinP-2 x cos2 a? tfa?

= — sinp 1 a? cos a? -J- (» — 1)1 sinp~2 a? (1 — sin2 a?) <ia? = — sinP-1 a? cos a? -f- ( P — 1) (j/p-2 — Vv) ï d'où, en transposant le dernier terme :

sin?-1 a? cos a? , » — 1

yp = K— V—- (A)

Si p est positif, cette formule ramène yp à y, ou à y0 suivant que p est impair ou pair.

II. Sip est négatif, l'intégrale yp-2 est pins compliquée que yp; mais on pourrait renverser la formule (A) en considérant yp 2 comme étant l'intégrale proposée, et en appropriant les notations. Nous préférons chercher directement la nouvelle formule.

Mettons le signe de p en évidence :

dx 1 dx

fa

sin? x J sinp~2 x sin2 x et intégrons par parties en prenant

u = . 9 — = sin- p+2 x, dv

sinP-2 x sin2 x '

cot# , f cos # cot a? ,

Vu = ; ^ (m — 2) . — ; «07.

La dernière intégrale revient à

cos2 x . f 1 — sin2 ^ .

dx = 0^n^ ^ = yp — ^p-2 ;

smp o? sin? 07

par conséquent

COt;£

sin?-2 07

■Vp = " o7^T-V„ — (* — 2> (yp - ^p-2)'

d'où, en réunissant les deux termes en yç,

eos rc 7) ^

y" = (p-l)sinP^ + ;7^îy"-2' (B)

La formule (B) ramène yp à l'une des intégrales

/dx , Ç dx

. , = — cot 07, ?/, = - — = l tg sin2 x ' ,yi J sino? &

Remarque. — Le changement de x en ~ — a* transforme I cosp xdx en — ( sinp xdx.