OB = \-, OD \^-, OF

Si on partage l'intégrale ainsi :

les différents termes représentent les aires des arcades successives; comme ils sont alternativement positifs et négatifs et

Fi g. i.

décroissent indéfiniment en tendant vers zéro, l'intégrale proposée peut être assimilée à une série convergente (J, 13).

r^*~J sin^ \ 4° tt^— 1 0 — r dx. Cette intégrale a une valeur finie

J o 1(2 -\- cos2 x)

, mais

s i n ^ .x indéterminée Car la courbe y = f/^— ' — ; — rse compose d'une

/(2 -f cos2 x)

infinité d'arcades égales entre elles et situées alternativement

au-dessus et au-dessous de l'axe des x. La somme de deux

arcades consécutives étant nulle, on a

Jo Jo

Si le nombre n croît indéfiniment, la valeur de la dernière intégrale dépend uniquement de a; donc l'intégrale prise entre les limites 0 et oo est indéterminée.

oo

il en résulte

dx. On a

dx =

/■f-OO

- -oo

1(1 -fa?2)

dx = lim /

Comme l'intégrale proposée dépend de la limite vers laquelle tend j lorsque a et b croissent indéfiniment, elle est indéterminée.

Intégrale d'une différentielle discontinue.

49. La notion de l'intégrale définie subsiste encore lorsque la fonction à intégrer présente des discontinuités finies en nombre fini. Considérons en effet {fi g. 2) les segments contigus