J OA

Ces considérations s'appliquent aussi au cas où une seule et même fonction analytique présente des discontinuités finies.

50. Examinons maintenant les cas où la fonction intégrée devient infinie. Nous désignerons par a et b (a < b) des nombres finis, par s, £,, ... des nombres positifs aussi petits qu'un veut.

1° Si la fonction f[x) est continue entre a et b — s, mais devient infinie pour x = b, on pose comme définition

Ç f(x)dx = lim C~Zf(x)dx = lim [F(ô — s) - F(a)\ = F(b) — F (a) ,

F{b) désignant la limite de F{b — s).

D'après cela

r1 dx

J o.vT^

= arc sin 1 — arc sin 0

En suivant par voie de continuité la variation de arc sin x quand x varie de 0 à 1 on voit qu'en prenant arc sin x = 0 on

doit poser (53) arc sin 1 = ~ «

2° Si f(x) est continue entre a -f- s et b, mais infinie par x = a, on pose

Ç f{x)dx = lim I f{x)dx = lim [FKb) — F (a + sY| = F(6) — F(a). J a J a+e

Par exemple

= lim

= oo.

3° Si /(se) est infinie pour une valeur # — c comprise entre a et b, on pose

/* b r Ça— z /•b

f{x)dx = lim f{x)dx 4- I f[x)d,

4° On voit facilement comment il faut procéder lorsque plusieurs des singularités précédentes se présentent à la fois.

Par exemple, si la fonction f[x) est infinie pour les valeurs a, c, d, b de x(a < c < d < 6), on pose

("V(^)^=Hmrr"£i+ rd"£3+ r

Exemples. — 1° Considérons — -• La règle ordinaire

. — i x donnerait

+1 dx

résultat absurde puisque la différentielle est toujours positive.

La fonction intégrée étant infinie pour la valeur x = 0 comprise entre les limites d'intégration, on doit poser

T+1 dx f~ £ dx , fl dx

J -i OC1 \) l X2 J Ej X~

2 = oo.

2° Si c est un nombre compris entre a et b, on pose

'b dx .. rrc£ — rf.'c rb ofo?

rre— +r

lim /(c — a?) -f- l{x — c)

-si »

lim l- +1

L'intégrale considérée est donc indéterminée, car le rapport

peut avoir une limite quelconque.

3° Lorsque a et b sont de même signe,

b dx

Ce résultat subsiste encore lorsque a et b sont de signes contraires, bien que la fonction intégrée soit infinie pour la valeur x = 0, comprise entre les limites d'intégration. En effet, on a maintenant

r«iimiY £+n

.'a L; a J £iJ

lim

(— £){ — a3 -f-ft8 - £^ i

Calcul des intégrales définies.

51. Les règles relatives à l'intégration par décomposition ou par parties s'appliquent aux intégrales définies; c'est-à-dire

fh Cb fb fb

(ii -\- v — w)dx = udx -f- vdcc — wdx,

^cft; =

uofo.

- (il -

La dernière formule apporte souvent de grandes simplifications. C'est ainsi que nous avons trouvé (31) :

JI çt 2.4 ... (p 1) &h\Vxdx = cosVœdœ= —^l » si p est impair :

o Jo S.D...p

Cl Ç* , 3.5... (» — 1) « .

I sinp#aa? = I cospa7a!a? = — =— ~ — -» si » est pair.

!o Ju 2.4.G...p 2 ■ L

J o 52. Intégration par substitution. — Si l'on transforme

f(x)dx par la substitution x = © (f), les nouvelles limites sont

les valeurs c et d de £ qui correspondent a x — a, x = b ; donc

(V(^)^ = j l[v{t)]*'{t)dt.

Cette règle que nous avons déjà appliquée (4), exige quelques précautions lorsque la fonction <©(/) n'est pas uniforme ou que sa valeur n'est pas déterminée dans tout l'intervalle (c, d) : il faut que la nouvelle intégrale renferme tous les éléments de la première.

Exemples. — 1° Appliquer la substitution x = -à l'intégrale

y -= J f[x)dx.

Lorsque a et b sont de même signe, on voit aisément que

'\\dt

ou c == — . d = r« a fr

Si a < 0, b > 0, l'intervalle d'intégration comprend la valeur

3C = 0 qui correspond à t = ± oo. Dans ce cas, quand x varie

d'une manière continue de a à zéro, ensuite de zéro à b, t varie

d'abord de c à — oo, puis de -\- oo à d. On posera donc

2° Appliquer la substitution x -f- - = 2t à l'intégrale

y = iTix + lj

)dx.

On a

t ± \V~ — ï, dx = (\ ±

\ïz— 1

tff.

A une même valeur de t correspondent deux valeurs de x, qui sont inverses l'une de l'autre et deviennent égales pour t = 1 ; aux valeurs x = 0, x = oo correspond t = oo. D'après cela, pour faire varier .y de 0 à oo, on doit faire varier t de oo à 1 dans t — \ V- - ï, et de 1 à oo dans t -f- \t2 — ï. Nous posons donc

y = W1 " W-idt + r^1 + Wr)* ;

en renversant les limites d'intégration dans le premier terme de y y nous aurons

-oo

53. Cas où l'intégrale indéfinie admet plusieurs déterminations. — Lorsque l'intégrale indéfinie admet plusieurs déterminations, on choisit arbitrairement la valeur qui correspond à la limite inférieure et on la suit par voie de continuité jusqu'à l'autre limite.

Considérons par exemple

arc tg x

b étant positif. Si nous adoptons pour arc tg 0 la valeur ir, il

faut prendre pour arc tg b un arc compris entre iu et^- On voit

facilement que la valeur de l'intégrale définie est indépendante de la valeur initiale de arc tg 0. Si l'on convient de limiter

arc tg x entre — ^et^ on a sans ambiguïté

g = arc tg b — arc tg a.

al +^

Soit encore l'intégrale dx

o a2 cos2 x -\- b2 sin2 x

arc tg ( - tg x

Si l'on prenait arc tg ( tg 0 J — 0, arc tg ( fcg w J = 0, l'intégrale aurait la valeur 0, résultat absurde puisque la différentielle est constamment positive. Mais si l'on suit arc tg ( tgx) par voie de continuité dans l'intervalle (0, 7r), cette fonction croît de Oà dans l'intervalle (0, Mi puis de4. àr dans l'intervalle

n,7C)î ses valeurs extrêmes sont donc 0 et ir, et l'intégrale proposée est égale a -y*

54. Limites entre lesquelles on peut enfermer une intégrale définie. — 1° Soient f(x), f^x), f2(x) trois fonctions continues dans l'intervalle (a, b) et telles que pour toute valeur de x de cet intervalle

AO) < f\x) < /!(»)■

Alors, si a <^ b, on a

^fx(x)dx < j"£/l(a?)ofo? < j^a?)^ ;

car la différentielle dx étant positive, les éléments fl(x)dx de la première intégrale sont plus petits que les éléments correspondants f{x)dx de la seconde, et ceux-ci sont plus petits que les éléments correspondants f2(x)dx de la troisième.

Lorsque a > b, la différentielle dx est négative et l'on a

fjMdx > îlmdx > $bJ2(x)dx.

Graphiquement, les trois intégrales sont les aires limitées par l'axe OX, les parallèles à O Y qui correspondent à x = a, x = b, et respectivement les courbes y = fl(x)y y = f[x),y — /g(ac); la deuxième courbe étant située au-dessus de la première et audessous de la troisième, la deuxième aire est comprise entre les deux autres aires.

f2 dx Application. — Trouver —==• Tant que x < 1,

\/ l—x* \JT^-~x2 '

par suite

\ dx < —== < .

1 r r2 dx r

.77 < I — rzr^^ < ai"C Slll X

L Jo J o \/ 1 — x3 L

L'intégrale proposée est donc comprise entre 0,5 et ^ — 0,523. . .

2° En particulier, si la fonction f(x), continue dans l'intervalle (a, 6), est toujours comprise entre les nombres donnés m et M, on a

I b m dx < ( f{x)dx < J M flfo? (a < 6)

ou m(ô — a) < JJ /T(ir)rfa? < M{b — a).

D'après cela, en appelant n un nombre convenablement choisi entre M et m, on peut écrire

J b f\?c)dx = \*.(b — a).

Comme f(x) prend la valeur ;ji pour une certaine valeur x = a comprise entre a et b, la même égalité peut s'écrire

jlf(x)cLc = (b-a)f(*).

3° Considérons l'intégrale P <o(x) F(x)dx, et supposons que dans l'intervalle (a, b) la fonction F(x) n'est jamais négative ni constamment nulle, et que la fonction o(x) a pour valeur maximum M, pour valeur minimum m. Dans ces conditions, si a < b, ce qui entraîne dx > 0, on a, dans tout l'intervalle (a, b),

mF(x)dx < v(x) F{x)dx < ~SlF(x)dx ; par conséquent

m{\¥(x)dx < \\(x)F(x)dx < M \\F(x)dx.

Cette double inégalité entraîne

j\(x)F(x)dx = p \lF(x)dx, l*. désignant un certain nombre compris entre m et M.

La l'onction ©(je) étant continue entre ac = a et .v '«= /; prend la valeur \x pour une certaine valeur x = a de l'intervalle (a, b); on peut donc écrire

$1 *(x) F(x)dx = <p(a) J* F(*)<te.

Cette égalité est connue sous le nom de principe de la moyenne d'une intégrale définie.