Formule de Wallis. — On a

sin2n-1 x dx — ~\ '— — \- — '-,

Ju 3. 5. 7. ..(2m — 1)

sur*1 a? «a? = -t^— - :

snrnt"J x dx --

Comme sin x est positif et moindre que l'unité,

sjn2nfl x <- sin2n x <- sin2n -1 ^ .

il en résulte (54, 1°)

c'est-à-dire

sin2n+1 xdx < sin2a#<:fo? < sin2a 1 x dx

' o Jo J 0

2^4.6... (2n--2)2n 1.3. 5. ..(2m— 1) tt

Ces inégalités donnent

tc 2 2 4 4 2m 2m

tt 2 2 4 4 2m —2 2m

Nous avons ainsi deux expressions qui comprennent entre

elles le nombre-; comme leur rapport — — r tend vers l'unité 2 Li 2/ï H- 1

NECBERG, i4«. /y»/*., //. 5

quand /i croit indéfiniment, leur limite commune est^- Donc

2~limtïT3'5*5T')

Sommations ramenées a des intégrations.

56. Soient xu \\, .. , tfn-i des mojTens insérés entre a et b. On sait que

\haf(œ)doo = lim.[(œl— a) f(a) + (œ,—oc1)f(œl)±... + (b-xn])f(xn l)].

Si les moyens insérés font partie d'une progression arithmétique de raison 7î, on a

et l'égalité précédente devient

fV(*) «fa = (* - a) lim na)+na + h) + ...+f[b-h)

ou ,im *«) + *« + *)+•■•/(»-») i p ^

On en conclut le théorème suivant :

La moyenne arithmétique des valeurs que prend une fonction f(x) pour des valeurs équidistantes de la variable, a pour

limite

1 fb

a et b étant les valeurs extrêmes de la variable (*). Par exemple, la valeur moyenne de sin x de 0 à - est

sin

xdx = - '■>

{* La moyenne arithmétique est, à proprement parler,

f(g) + f(a + A) + ... + fip - h) + /•(&) . n+1 "

mais elle diffère infiniment peu de celle des nombres f(ct), f\a -f- //), ..., f{h-h).

celle de .y" dans l'intervalle (0,1) est ; celle de dans

l'intervalle (1,2), 12.