Transformations de r(n). — Si l'on pose e x y, on a

c x dx = — <7v et .y = /( 1 ; par conséquent

fi) s l\n-l -1 / l\n~l

r(n)-- /M ^- (/ -) dy,

La substitution .y = s2 donne

'OO

r(n) =2 e x~' -2n 4 ote.

' ci

125. Intégrale eulérienne de première espèce. — On appelle intégrale eulérienne de première espèce ou fonction bêta, et Ton désigne par B(/j, q) l'intégrale

Jo ^p 1(l — ocy-ldx.

B(/>, q) a une valeur finie lorsque/) et q sont positifs, une valeur infinie lorsque l'un de ces nombres ou les deux sont négatifs. En effet,

B(p, cl) = f*#p-1(l — ocy-^dcc + fï a?P-J(l — œY~ ldx;

dans la première intégrale du second membre, le facteur

/lyi-i (1 — .\')q~1 étant compris entre 1 et ( ^ j , l'intégrale est comprise entre

I ocV~]dx et {-) xv~]dx,

de sorte qu'elle est finie si p>0, infinie si p = Q ou <0; de même la seconde intégrale étant comprise entre

f~X \ (l—œ)*-lda; et f (1 — x)*~l dx

est finie ou infinie suivant que q est positif ou non.

Un changement de variable fait prendre à B(/;, q) d'autres formes :

1° Si l'on pose x = 1 — y, on trouve

B(p, q) = — ^ (1 — yy-hj^-hly = jlQ (1 — x)P-]x<i-ldx,

ou B(p, q) = B(q,p).

2° La substitution x = ,—7- donne 1 — x = ,— - »

c/x = 7i— ,- .-ô î donc

/*°° vp-i

et, à cause de B(p, g) = B(g, p),

3° La substitution # = ay montre que

^xv-\a — xy~ldx = a^^~]B(p, q).

Neuberg, An. inf.y II. H

4° Si l'on fait x = sin2 0, on obtient

B(p, q) = 2 rsin2P-'0 cos^Ô <*6 = 2 f* cos2»'-^ sin^-ïQ </6. J o J o

126. Formules de réduction. — Intégrons par parties en prenant du — (1 — .\')q 1 J.v ; il vient

xv-](l — a?)*'

-f- ^P~2(l — x'Mx,

d'où, en supposant p ^> 1,

B(P,?)=?— ^B(li- l,q+l).

Pour ne faire varier qu'un seul exposant, observons que B(p — 1, q-\- 1)== Jq ^~2(1 - «Ji-'fl — a?)«fo

ou, en réunissant les deux termes en B(/9, </),

Par analogie

Si p est entier et positif, la formule (6) donne

B{p,q) = p1^q}lB(p-l,<i), ^(P-h9)=p^q^.,B<p-Z,g)...

î+1 il en résulte, par multiplication,

to-T-l^'

Si les deux exposants p, q sont entiers et positifs, l'égalité précédente peut prendre la forme

Dans le cas où p et q sont fractionnaires et positifs, l'application répétée des formules (6) et (7) permet de diminuer les nombres p et q de toutes les unités qu'ils contiennent.

127. Relation entre les eulériennes de première et de seconde espèce. — La formule (8) subsiste pour toutes les valeurs positives de p et q. En effet, si l'on remplace x par x2 on par y2, on trouve

T(p) = 2j[ j c-*2*^-! ria?, T(q) = 2J^ryVq-%;

d'où r(p)%) = 4 j^° J (^° e-<x2+y2) ^P- 1 ^-î ^ rfy#

L'intégrale double représente le volume compris entre les plans des coordonnées positives et la surface ayant pour équation

z = e— i* tj x^~l y*

Si l'on passe aux coordonnées semipolaires, ce volume a aussi pour expression (95)

•OO /«.tTC r(XD

dO zrdr — e~r~ cos^-1 6 sin2(i-i q > r2P+2q-i ^ c/r

A11 rOO

= cos2^1 6 sin2*-1 6 dQ e~l2 r2P+2^~ldr.

Le premier facteur est la transformée de - B(p, q) pour x = cos2 6, le second, celle de ~ T(p -f- g) pour a* — r2; par suite

nP) r(q) = B(P, g) r(P + ?),

ce qui démontre la formule (8).

128 Intégrales multiples qui s'expriment par des fonctions T. — On a trouvé ci-dessus la formule (125, 3°)

œv-i(a œjq-i dx = tfP+i-1 B(p, q) - aH*-' £|^ ^ • (9)

On peut la généraliser. Soit, par exemple, à trouver l'intégrale multiple

I = J f j aP-*y*-lz*~\a — x — y — zf~x dx dy dz,

étendue à toutes les valeurs positives de x, y, z pour lesquelles

x -f- y -f- z <C a • En mettant les limites en évidence, on a

I = JJ a?P-i dx J*- Vi 1 dy j*~x-yzr-*(a —x—y — |)«-i tf*.

D'après la formule (9),

P "V-Va — a; - y -- s)3"1 dz ■-= (a — x — y)*+*-i ^ ^ ;

Jo' H>' + s)

donc

iyh r<Yi ra ra~x

De même

(*~\<i-h'a - x — y)r+s-1 dy = (a — a?)4+i+«-i îMIfc ± ?) .

Jo J J! ' 1^ + r-f.sf

d'où

l=»fV>(a-^-ià

= ap^+r+s-, T{p)T(g)T{r) T(s) T(p + q + r+l)

En particulier, si s = 1, a==l, on aura

l'intégrale étant étendue à toutes les valeurs positives de x, y, z qui vérifient l'inégalité

oo -Y-y -f* < 1.