X,, X., Xn étant des fonctions données des variables

indépendantes a*,, a\2, ..., xa , proposons-nous de trouver une

fonction u ayant pour différentielle totale

Xi dxx -h X2 dx2 -|- ... -h Xn dxn, ( | )

c'est-à-dire telle que

du \ du du

3 == Xi, • = X2, •••, : == Xn. (2)

dxx dx2 * dxn

Les fonctions Xn X2, ..., Xn ne sont pas arbitraires : on doit avoir

«, = àxk t

dxk dxx '

i et k étant deux nombres quelconques inégaux de la suite 1, 2, ..., n ; car les deux membres de cette égalité sont égaux à dhi

ÔXi dxk

La première des égalités (2) donne

i1 X]dx1 -\-ul} (4)

ax étant une constante arbitraire, et ux une fonction de a\, , x3i ... xn qui tient lieu de constante d'intégration. On en déduit (108)

du fxi^X, , ()ux

dx{ J ■al dx\ ùx\

ou, en vertu des égalités (2) et (3),

P1 r)Xi da

Xfi désignant la valeur de XL pour .Vj = al; par conséquent

È = Xfl- P-8,3,.:.n)

Ce système d'égalités prouve que la différentielle totale de ux est

X? i dx2 -J- Xfi ^.r3 -j- . . . -|- X{Ji c£rn ; (5)

d'ailleurs les conditions d'intégrabilité qui sont de la forme

dxk dx\

[i et *=2,3„..,n]

sont vérifiées, en vertu des égalités (3).

On peut maintenant raisonner sur l'expression (5), qui ne renferme plus que n — 1 variables, comme sur l'expression (1). En continuant ainsi, on arrive à la formule

U — pXj dxy -f F*Xfi dx2 -f P3 x3aia'2 dx9

J ai J a2 J a3

+ ... + fnxiai^-a^^n-f-o,

J an "

où xPj^2"^ représente ce que devient Xi+i pour A*! = a15 x2-= a2, ... .Vj c-jj. Les nombres a,, a2, ... a„ sont tout-à-fait quelconques.

Exemple. — Intégrer

(y -\~ Z)dx -\- (z -\- oè\dy -f- (a? -}- y)ote.

Les conditions d'intégrabilité étant vérifiées, on peut écrire

u = Jo ^ + *)'^ + Jo ^ "+" ^o^ "i- J*o ^ + y)oo^

== Jo {y +■ z)dx +■ Jo ~f^ + jo ° • r/j

= yx -\- zx -f- zy -f- C .

137. Théorème. — M, N, P désignant des fonctions données de x, y, z, poar quune intégrale

j M<£» + Ntfj/ -f- P<&

étendue à aae courbe AB 'gui es£ rapportée à trois axes OX, OY, OZ a/7 «ne valeur qui dépende uniquement du point de départ A eZ du point d'arrivée B, e/ aoa <7a chemin suivi, il faut et il suffit que Mdx -f- Xdy -f- Pdz so/7 une différentielle tohde exacte.

La signification d'une intégrale étendue à une courbe dans l'espace s'établit comme au § 88, et la démonstration du théorème précédent est analogue à celle du théorème (135)

138. Différentielles homogènes. Théorème. — Soient M, X, P des fonctions homogènes de x, y, z, de même degré a et

telles que l'expression Mdx -j- Ndy 4- Pdz est une différentielle totale. Si a est différent de — 1, V intégrale est ^ ' ^ ;

si a = — 1, la quantité Mx f- Ny -f- Pz .se réduit à une constante. Par hypothèse

ÔM àN dN (JP ôP ÔM dy dx dz dy dx <):.

Le théorème des fonctions homogènes (I, p. 92) donne

(M (M dM

«M-.-g. + y jy+**to\

d'où, en tenant compte des égalités (11) et par analogie,

t)\\ <)N dP

dy l ^y dy K '

„ dM dN dP ...

aF=X dz +?/ dz ^Z ô, ' (l4>

Si l'on ajoute les relations (12), (13) et (14) après les avoir multipliées respectivement par dx, dy, dz, on obtient

«(M dx -\- N dx -h P dy) = xdM -{- ydN -f- zdP. ; 15)

Ajoutons aux deux membres de (15) M d x -f- N dy -f- ï* dz ; nous aurons l'identité

(a f 1) (M ofcc 4- N tfy -f P dz) = 2jc dM + £M <fce.

Le second membre est la différentielle totale de Mx±'Ny-\-~Pz; donc

(a + 1) (M dx + N dy + P rf*) = rf(M<r + % -f P*).

D'après cela, si a -f 1 / 0, l'intégrale de M dx -\- N dy -f- P Je

Mv 4- Nv 4- P~ est - — - — /-r— ; si a 4- 1 = 0, Mx 4- Ny + P- n, une diffé-

rentielle totale nulle et, par suite, se réduit à une constante. Le théorème est vrai quel que soit le nombre des variables. Appliquons ces résultats aux différentielles

[y + z) dx + (* + oo) dy + (x + y) dz, - + % + - ,

qui satisfont aux conditions d'intégrabilité ; la première a pour intégrale

pour la seconde, M.v f N3* -|- Vz se réduit à une constante.

Exercices et notes.