GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
139. Définitions. — On appelle équation différentielle ordinaire, toute équation de la forme
dy d2y dny\
' J dx dx~ dxnJ ' y J
qui établit une relation entre la variable indépendante x, une fonction y de cette variable et les dérivées de y. Li' ordre d'une telle équation est l'ordre de la dérivée la plus élevée qui y entre.
Intégrer l'équation (1), c'est trouver toutes les valeurs de y en fonction de x, qui la réduisent à une identité. Les équations en x et y qui déterminent ces valeurs, sont nommées intégrales de l'équation (1); une telle équation représente une courbe qu'on appelle courbe intégrale de l'équation (1).
Exemple. — Examiner si l'équation
if — ty + 3y == 6ar + 5a? + 3 admet une intégrale de la forme
y = ciX2 -}- bx -\- C.
Introduisons dans l'équation proposée cette valeur de y et les valeurs y' = 2ax 4- b, y" = 2a ; nous aurons
2a — 4 (2ax 4- b) -f 3 (ax2 4- bx 4- c) = Ç>x°~ -j- 5x 4- 3,
ou 3ax% 4- (36 — Sa) x -j- 2a — 46 -\- 3 c = 6x2 + 5x 4- 3.
Pour que cette égalité devienne une identité, on doit avoir
Sa = 6, 3b ~ Sa = 5, 2« — 46 4- 3c = 3 ;
NEUBERG. — An Inf., II. 12
d'où, l'on tire a — 2, 6 = 7, c=*9. Donc l'équation proposée admet l'intégrale y = 2#2 + T.v -h (J«
140. Formation des équations différentielles. — Soit donnée une équation f[x, y) = 0. On en déduit
dx ^ ùy y '
to* + 2âr%y + dp y • dyy ~ °*
Ce sont là des équations différentielles ordinaires du premier ordre, du second ordre, etc., qui résultent de l'équation f\x, y) = 0 par le seul procédé de la différentiation. Mais on pourrait combiner ces équations entre elles ou avec l'équation f(x, y) = 0 pour en éliminer certains termes, ou encore des constantes ou des radicaux. Les équations différentielles ainsi obtenues ont pour intégrale l'équation f(x, y) = 0, mais elles n'en résultent plus immédiatement.
Si l'équation /(.v, y) = 0 contient n constantes Cl9 C2, ..., Cn, on peut éliminer celles-ci entre l'équation /'(.v, y) = 0 et ses n premières dérivées ; on obtiendrait ainsi une équation différentielle du n1' ordre, que l'on appelle l'équation différentielle de la famille des courbes représentées par l'équation f[x, y) = 0.
