Exemples

1° Trouver les dérivées successives de y = arc sin x. — On a

Vi~

Le calcul direct des dérivées y", y'", etc., est assez compliqué ; c'est pourquoi nous remplaçons l'équation (1) par la suivante

En dérivant celle-ci, on obtient

y"(l — **)-fl?y«0. (2)

Prenons la ne dérivée de l'égalité (2), en appliquant aux deux produits y\\ — .y2), y'x la formule de Leibniz (1, 96) :

d"(itv) dnu . dv da~hc , n(n — Y) d~v dn~hc

dxn dxli r dx dxn~l ~r 1.2 dx* dxn~*

dn~]v du dnv

+ -+ndx^dx + U dx»;

nous aurons en posant d'abord u = y", v — 1 — x2, ensuite u = y', p = sc :

d n = (1 ~~ x'2w+2) — 2n ^(n+1, — w(n — Wn)>

dn(y'a?) , , n ,

par conséquent, la ne dérivée de (2) est

(1 — x~) ?/<n+2> — (2n -f- 1) ocy'n+V — n2?/^ = 0. (3)

Pour développer arc sin x en série par la formule de Mac- Laurin, il faut avoir les valeurs des dérivées de cette fonction pour x = 0. Or, la formule (3) donne, lorsqu'on fait x = 0,

Partant des valeurs y" = 0, y' ---= 0, on conclut de l'égalité (4) que les dérivées d'ordre pair sont nulles; pour les autres on trouve

y"' =y< = 1, y(v) = 3y = 32^ ^(Vli) = 52j/(v) = 32 52 j

Donc,

\x* , 1.3a?5 1.3. 5;r7 , arcsin, = , + -- + ^ï + 2-Xgy + ...

2° Trouver l'équation différentielle des coniques homo focales.

Il existe une infinité d'ellipses et d'hyperboles qui ont les mêmes foyers F, F'; toutes ces coniques sont dites homofocales . Elles sont représentées par la même équation

où X est un paramètre variable d'une courbe à l'autre ; a et b sont des constantes telles que a2 — b2 = c2, où FF' = 2c.

Pour trouver une relation indépendante de X, éliminons ce paramètre entre l'égalité (5) et sa dérivée

œ -i yy] n m

En résolvant ces équations par rapport aux quantités a2 -|- )., b2 -f- ^ on obtient

d'où, par soustraction, l'équation cherchée

xypn + (a?2 — .V2 — c2)j/' — a-y = 0.

3° Trouver l'équation différentielle des coniques.

L'équation d'une conique quelconque est

y = ax -f- 6 -p (?i^2 + 2p# -p- ?)2 • (^)

Elle contient cinq paramètres variables a, fr, /î, p, q. Pour trouver une équation indépendante de ces paramètres, nous dérivons l'égalité (7). Xous avons d'abord

//' a -f- [noc + 2^){nx~ + 2j3a? + #.) 2 >

y = w(na?2 -f 2px -f- ç) 2 — («# H- p)2{nx2 -\- 2px -f- g) 2

nq—p2 ,Qx

(«#2 + 2pa? + <y)£

La valeur de y'' est indépendante de a et b. Pour éliminer encore n, p, q, nous mettons la relation (8) sous la forme

„2 nx2 -f- 2p# 4- <?

La dérivée troisième du second membre étant nulle, l'équation différentielle cherchée est

\y»-z) =0, ou — 40/''3 + 45j/'V Vv) — Wv' = 0.

4° Trouver une courbe dont le rayon de courbure en chaque point soit inversement proportionnel à /' abscisse de ce point.

Cette propriété se traduit par l'équation différentielle

Les problèmes de géométrie infinitésimale, de mécanique ou de physique mathématique conduisent à des équations différentielles qu'il s'agit d'intégrer pour arriver à une relation en termes finis,