Représentation paramétrique d'une courbe. — Au lieu

de représenter une courbe plane par une seule équation F(x, y) = 0 entre les coordonnées de chacun de ses points, on exprime souvent x et y en fonction d'une troisième variable /; celle-ci prend le nom de paramètre. La première relation x fit) peut être choisie arbitrairement, et la valeur de y en / se déduira de l'équation F[f(t), y] = 0.

Réciproquement, si une courbe est représentée par

l'élimination de / entre ces formules conduit à l'équation en x et y.

Voici des exemples de ce mode de représentation des lignes.

Soient : «v 0 , y0) les coordonnées d'un point fixe A d'une droite

(fi g. 4)> ixï y) celles d'un point variable M: /le segment AM

Fi g. -/. Fig, .*).

considéré comme positif ou négatif suivant qu'il est porté a partir de A dans un sens ou dans l'autre; enfin a l'angle de

l'axe positif OX avec la direction positive de la droite A M. En projetant A M sur les axes coordonnés, on obtient les équations

x = xQ -\-mt cos a, y yQ -f- t sin a.

Une ellipse (fig. 5) étant rapportée à ses axes principaux, la comparaison des égalités

■ -{-•; ', = I. cos2 1 -f sin2 t = 1

suggère les formules

x = a cos t, y = h sin t.

Si l'ordonnée PM rencontre en M' la circonférence décrite sur le grand axe A A' comme diamètre, l'angle t = M'OA. Pour l'hyperbole et la parabole, on prend respectivement :

\ x = a séc /, \ x = 2p tg'2 t,

I y = btgi; ( y = 2y> tg t.

Etant données les équations

x==fif)} V = Wh

on peut trouver la dérivée r'x sans éliminer t. En effet, si L'on donne à t l'accroissement A/, a* et y prennent les accroissements

A.r ^ f[t + A/) - /V), A;/ = ç(* + A/, - cp7).

La dérivée y'x est la limite du rapport des accroissements simultanés Ay, A.v lorsque A.v tend vers zéro ou, ce qui revient au même, lorsque M diminue indéfiniment. Or

ly Ay A.v , Xv "' M ' \( '

d'où, en passant à la limite,

y'x = y't : oc\ =- »'(t) : fit).

Ecrivons ce résultat ainsi :

, v\t)dt du{t)

//x~ }"{tyit~ cifj)'

On voit que la dérivée y\ est exprimée par le rapport des différentielles dy : dx, aussi bien lorsque y est fonction immé-

rîiato de x que lorsque y et x «sont fonctions d'une môme troisième variable.

Exemple- — Les coordonnées d'un point d'une ellipse étant .v n eos /, y - b sin /, le coefficient angulaire de la tangente

est

(/// h eos / (Il h

= . __ — col"- /.

eu; — « sin t </l a

Exercices et notes.

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :