R 4- Ri6 4- R2^ = x + x,e 4- x2x

Posons y + bz -\- lu = t, (3)

v dy dz . du dt dd dl

doc dx dx dx dx dx

dy Nous pourrons éliminer y et * ; il vient

5-*ffi — S + <p + p', + p^-to- »-) + (Q + Qft 4- QJ)z + (R + R^ 4- R2X)w

L'équation (4) ne renferme z et u qu'au premier degré, lui annulant les coefficients de ces variables, on obtient les trois équations

~ + (P + P ,0 + P2X)6 - (Q + Qft + Q2À) = 0, (5)

~ + (P + Piô + P,*)* - (R 4- Rie -h R2X) = 0, (6)

Les équations (5) et (6) déterminent 6 et À; leur intégration présente, en général, de grandes difficultés. Néanmoins, si l'on en connaît trois solutions particulières (61? XJ, (82, X2), (93, X3), on peut résoudre le problème proposé. Car l'équation (7) étant linéaire et du 1er ordre, on en déduit (151)

^==e-/lp+piÔ+^)dx

J(X + x,e + x2x)^p+pie+p*)dx^ + c

Soient ti9 t2, f3, les valeurs qu'on obtient pour t en remplaçant dans l'égalité (8) 6 et X successivement par 0, et Xn 62 et X2, 63 et X3, et c par cn c2, c3. Le système intégral cherché sera

241. Équations à coefficients constants. — Lorsque les coefficients P, Q, ... sont constants, les équations (5) et (6) sont vérifiées par les valeurs de 6 et À qu'on tire des deux égalités

(P 4- Pi« 4- P,*)6 — (Q 4- Qiô 4- Q**) = 0, (9)

(P 4- Pi» 4- P2X)X — (R 4- Rj6 4- R2X) = 0, (10)

car ces valeurs sont indépendantes de x. Posons P-f PjO-f- P2X = p ; nous aurons au lieu de (9) et (10),

P 4- Px6 4- P2* = p, )

Q 4- Qi6 + Q2X = oP, (11)

R 4- RiO 4- RoX = XP, \

Si l'on élimine 6 et X, on trouve Y équation caractéristique qui détermine p, savoir

Q Q, — p Q2 R Ri R2 — p

Soient ply p2, p3 les racines de (12) supposées inégales ; deux des équations (11) (*) déterminent les valeurs correspondantes (6]> M* (62> ^)> (63> *s) ae °5 *« ^a formule (8) donne ensuite

f(X + Xx0 + X2X)epX dx + c

on aura les valeurs de flf f2, t3 en y remplaçant p, 6, X successivement par les trois systèmes de valeurs (plt 6L, XJ, (p2» ^2> ^2)» (Fa» e3> xs)> et c par cM c2, c3.