Autre méthode. — Soit d'abord le système homogène
^| 4- Py + Q~ 4- Rm --= 0,
Sa?
+ P^ + Qi* + RiW = 0,
P,Q,R,P!, ... étant des constantes. On peut y satisfaire en posant y = e*%, z = Aeax, w = Beax.
En effet, en substituant ces valeurs on trouve les égalités de
condition
a + P -f QA 4- RB =0,
aA 4- PL 4- QiA 4- RiB = 0,
aB 4- P2 4- Q2A 4- R2B = 0. ;
Si l'on élimine A et B, on obtient
Ri
a4-Rs
(*) Deux au moins des équations (11) sont distinctes. On peut démontrer que si pour une valeur de p les trois équations se confondent, cette valeur est une racine double de (12).
Nous n'étudions pas les cas où l'équation caractéristique a une racine double ou triple.
Soient a1?a2, «3 les trois racines de l'équation caractéristique (C), supposées distinctes; on trouve facilement les valeurs correspondantes (An BJ, (A2, B2), (A3, B3) de A et B. On a ainsi trois solutions du système proposé, savoir
y2 = ex*x, z2 = A2e**x, u2 = B2ea^; y8 = ea3x, sr3 = A3ea3x, u3 = B3e**x. On en conclut la solution générale (233)
yŒC1eaix + C2ea*x + C3ea3x,
z = C^"1* + C2A2ea*x + C3A3ea3x,
u =. CjB^ + C2B2ea2x -f C3B3ea3x.
Si les équations ont des seconds membres Xt, X2, X3, on considère Clt C2, C3 comme des fonctions de x et on les détermine par la méthode de Lagrange (235).
Dans certains cas on peut déterminer une solution particulière, puis appliquer le théorème (234) ; on opère ainsi lorsque XIf X2, X3 ont la forme e**^ + czx 4- ... 4- CpXP-1) (215).
243. Méthode de M. Catalan (*). — Le système homogène peut prendre la forme
dy dz du
~ Pt/-f Qs-fIU ~ Vxy 4- Q^ -f- R^ " " P2y + Qzz + R2w '
On en déduit
ady -f- atxdz -f- <*2du
dx==
(Pa4-P1a1-fP2a2)y+(QafQ1a14-Q2a.^-f(Ra4-R1a14-R2a2)u
Les coefficients P, P,, P2, Q, ... étant supposés constants, le second membre est une différentielle totale exacte si les coefficients de dy, dz, du sont proportionnels à ceux de y, z, u. Posons donc
Pa + P^ -f P2a2-pa, \
Qa -f Q^! 4- Q2a2 = pcclf | (D)
Ra -[" R]«i 4" &2a2 = Pa2' )
O Bulletins de l'Ac. de Belgique, 2e série, t. XXI, pp. 25-30.
Voir aussi une Note de M. Mansion dans les mêmes Bulletins, 2e série, t. XLIV; le cas où l'équation caractéristique présente une racine double ou triple y est traité.
Si nous éliminons a, %l, a,, entre ces trois égalités, il vient
Q Qi — p Q2 R Rx R2 — p
d'où trois valeurs p4; p2, p3, de p, que nous supposons inégales. Nous aurons maintenant
, ^ cndy -j- a^ote -J- a2du
P^ + ai- + <V0
par conséquent
c — a? = - /(ay -f- »i*--4t «o'm),
i , p(c-x) ~ — px
OU ay -j- ajS- -f- a2M = e = ^;? •
Le système intégral est formé des trois équations qui se déduisent de la précédente en remplaçant p successivement par Pi» P?> P3> C Par Clt C.2, C3 et a, aj, a2 par les valeurs déduites de deux des équations (D) où l'on substitue à p les nombres olf p2, ps.
Si l'on résout ce système intégral par rapport à y, z, u, on obtient des valeurs de la forme
,, = a<t p>" + B«rp2* + c<r?3\
A, B, C étant des constantes arbitraires. Comme les équations (C) et (E) ne diffèrent que par le changement de a en — p, on retrouve la solution du § 242.
Application géométrique.
