Fractions rationnelles. — Si nue Traction rationnelle

' ^ prend la forme pour x = a, ses deux termes sont divisibles o(.yj l G1

par v— a ; soient /'[(v) et © Jx) les quotients. Nous aurons :

ç(ar) (* — a)?1(a?) ?l'a)

Neuberg, ^4/2. in/., / 7

f (a) La vraie valeur est donc ■ Cependant si l'on avait fl(a) = 0

etco](a) = 0, on diviserait encore /\(.\) et -^(.v) par a - a, etc.

x4 ix3 -\~ djc- — Ax + 4

Exemple. - -3 ,., - g- + ^ , pour « = 2.

On trouve - • Divisons les deux termes de la fraction par a— 2:

ce* — 2x~ -fa? — 2 '■- -f- a? — (3

Cette nouvelle fraction se réduit encore à- pour. v — 2; on divise donc ses deux termes par x — 2 :

Eu faisant .v 2 on obtient la vraie valeur 1.

137. Cas général. — Soient f(x) et œ x) deux fonctions quelconques qui s'annulent pour x — <•*. Si A est la vraie valeur de

f(x) la fraction pour a* = a, on a, par définition,

A = lim - — — » pour liai h - 0;

à cause de f(a) = 0, ©(a) = 0, on peut écrire

v iim/> + *)-/>>■

©(a -j- /*) — ©(a) puis, en supposant le théorème de Cauchy (91) applicable :

On a donc la règle suivante, due à l'Hospital :

Pour trouver la vraie valeur d'une fraction, qui se présente

sous lu forme pour x = a, on prend le rapport des dérivées des

deux termes de la fraction, et Von y fait x = a.

A = im'-, - -, mi . , ', , > ou 0 • 0. < 1 .

En généra], si /""(a) et cç/n (x) sont, les premières dérivées de même ordre qui ne s'annulent pas à la t'ois pour x a, on a

pain) ;