Extension de la règle de l'Hospital. — Si la fraction

'* prend la forme - pour a- ■= oo, la règle trouvée ci-dessus ç [X ] U

subsiste encore ; mais une nouvelle démonstration est nécessaire.

Posons x = -; l'hypothèse a = oo correspondra à s — 0. La z

règle étant applicable à la valeur z 0, on a

Cependant la règle ne conduit pas, en général, à la vraie valeur, à moins qu'on n'emploie des transformations algébri-

qttes. En effet, si une l'onction f(x) s'annule pour x = oo, sa dérivée f\x) s'annule également pour x = oo. Car l'équation y = f(x) représente une courbe qui, à cause de /\oo) = 0, s'approche indéfiniment de l'axe des abscisses quand x croît indéfiniment; cet axe étant une asymptote ou une tangente dont le point de contact est à l'infini, on a nécessairement /''(oo) = 0.

fi(x) 0

On a de même 'i'fool 0; donc , a la forme .- pour x = oo,

f"(x) et il en est de même de -; > etc.

Exemple. (l-| .,): . ô' pour a? = oo.

On trouve • Dérivons les deux ternies de la fraction :

Les deux termes de ce rapport sont nuls pour x = oo ; mais des transformations algébriques ramènent le rapport à

Or, pour x — oo, la fraction

Atyrm -f Arrm- ] | ... |- Aw Bo^P+B^i-1 - ... PBp

prend la valeur ,", 0 on oo suivant (pie m = p, < /) ou > p;

c'est que l'on voit en divisant tons les termes du numérateur et du dénominateur respectivement par xm, xm, .vp.

D'après cela, la vraie valeur de la fraction (1) est 1.

141. Simplifications. — Pour arriver rapidement à la vraie valeur, il convient souvent de changer de variable, de séparer des facteurs dont la limite est connue, de développer en série certains ternies, etc.; on combine quelquefois ces procédés avec

la règle de l'IIospital.

Exemples. —

\/x — i -\-2\ix- — 1

, pour x 1 .

Les radicaux s'annulent pour .v — 1, et leurs dérivées sont, infinies pour cette même valeur. Eu écrivant

Cl f l '

puis simplifiant par [x — 1)3, on trouve la vraie valeur .,

V 1(j 1 — cos (m arc sin x) II. 77-- ., » pour 37 = 0.

On trouve • Dérivons les deux termes de la fraction :

sin [m arc sin x) , -:-—-:-—--'

1 } Vl— x* 1 ~M2

et écrivons le résultat ainsi :

sin (m arc sin 3;) m{\ -\- x")

Le dernier facteur, pour x — 0, se réduit à x- • La vraie valeur

du premier, déduite de la règle de l'Hospital, est :

cos (m arc sin x) . m lim — , = m:

la valeur cherchée est donc --> m2.

Traitons le même exemple par les séries. Dans les formules

COS 37 = L — - -f — ... , l(\ + X) = 37 - — + • -.,

remplaçons x respectivement par m are sin. v et ,v- ; il vient

cos [m arc sin an) =.1 — - {m arc sin r )2 f - - (m arc sin ./•)' ... ,

Par conséquent la fraction proposée est égale a

- (m arc sin xf — (m arc sin x)4 -•-..

■~ 'Cl

x — çT+ •■■

N ., — (wî arc sin xf +

/// arc si il ./• - 2 -M

Passons à la limite pour x = 0, en observant que

arc sin .y

uni

= 1, etc

Symbole