CHAPITRE IX

MAXIMA ET MTXIMA

Fonctions d'une seule variable.

150. Nous revenons sur les premiers développements de cette théorie exposés ci-dessus (85).

Définitions. — Une fonction F(x) qui est continue dans l'intervalle infiniment petit (a — h, a -j- h), est dite un maximum pour x = a lorsque F(a) surpasse toutes les valeurs de F(x dans l'intervalle (a — h, a -\- h) ; autrement dit, la fonction croît dans l'intervalle (a — h, a) et décroît dans l'intervalle [a, a -f /i). F[a) est un minimum lorsque F(x) décroît dans l'intervalle (a — h, a) pour croître ensuite.

D'après cela, pour toutes les valeurs infiniment petites de /?, positives ou négatives :

F(a | h) — F(«) < 0, si F(a) est un maximum ; F(« -f- 1») — F(a) > 0, si F(a) est un minimum.

151. La représentation géométrique de l'équation y = F(.v) élucide les particularités qui se présentent dans eette théorie.

1° Une fonction [fig. 8) peut avoir plusieurs valeurs maxima on minima AA', BB', CC, ..., lesquelles doivent se succéder

Fie-, S.

alternativement, Un maximum AA peut être moindre qu'un minimum DD'; un minimum négatif BB' devient un maximum quand on ne considère que sa valeur absolue, et un maximum négatif, pris positivement, devient un minimum. Les maxima

et minima de F(x) sont généralemeiit les ordonnées des points A. 1>, ... où la tangente est parallèle à l'axe OX; par suite, les valeurs correspondantes de x sont racines de l'équation F'(x) 0.

Cependant, la tangente en un point F peut être parallèle à OX sans que l'ordonnée FF' soit un maximum ou un minimum; la dérivée F'(.v) passe alors par zéro en conservant son signe.

2° Un maximum ou un minimum peut avoir lieu en un point de rebroussement A [fig. V1 a tangente parallèle à OY; la déri- Fig. y. Fig. io.

vée F'(x), en ce point, devient infinie en changeant de signe. Si la dérivée devient infinie en un point B sans changer de signe, l'ordonnée BB' n'est ni maximum ni minimum.

3J La courbe peut présenter un point anguleux A {fig. io), avec deux demi-tangentes AC, AD', situées du même coté d'une parallèle à OX menée par A. L'ordonnée A A' est alors un maximum ou un minimum ; la dérivée F'(x), au point A, devient discontinue par saut brusque en changeant de signe. Si la dérivée, en un point B, passe brusquement d'une valeur finie aune autre valeur de même signe, l'ordonnée BB' n'est ni maximum ni minimum.

4° Lorsque la fonction F(ac), pour la valeur x = a, passe de l'imaginaire au réel ou inversement, on peut appeler F(a) un maximum ou un minimum singulier ; la première définition (150; n'est plus applicable. La dérivée F'(a -f- o) ou F'(a — o) peut avoir une valeur réelle quelconque. Le maximum ou le minimum de F(x) correspond maintenant à une valeur extrême

de x. La fonction cos yl — x2 offre un exemple de ce cas : les ordonnées des points d'arrêt A', A sont des maxiina singuliers séparés par un minimum ordinaire (p. 65).

Si la fonction F i.vj devient discontinue par saut brusque pour

Neuberg. — An. Inf. I.

,v a, on distingue deux branches de la fonction, l'une dans l'intervalle (a — h, a) et L'autre dans l'intervalle (a, a -f- A). On peut alors considérer un maximum ou un minimum singulier de F(x), Fui — o) et F(a |- o), pour chacune des deux branches.

152. Théorème. — Les valeurs de x (jui correspondent à un maximum ou minimum d'une fonction continue F(x), rendent la dérivée F'(x) nulle, infinie ou discontinue pur saut brusque, en la faisant passer, respectivement , du positif au négatif ou du négatif au positif.

Eu effet, si la fonction V x) est continue pour .y = a et devient maximum (minimum) pour cette valeur, elle est croissante (décroissante) dans l'intervalle (a — h, a) et décroissante (croissante) dans l'intervalle (a, a -f- h). La dérivée F'(.v) est donc positive (négative) de a — h à a, et négative positive) de a à a-f- h.

Si la dérivée F'i.y) est continue dans l'intervalle (a — h, a + /i), clic ne peut changer de signe qu'en passant par zéro pour x = a. Mais elle peut aussi changer de signe en devenant infinie ou discontinue par saut brusque.

Le théorème est donc démontré.

Remarque. — Ordinairement, les valeurs de x qui rendent V(xt maximum ou minimum sont racines de l'équation F'(jc) = 0. Une étude directe de F'(x) suffit souvent pour constater que cette quantité change de signe, ou conserve son signe au passage de x par une valeur qui l'annule. S'il n'en est pas ainsi, on a recours au théorème suivant.

153. Théorème. — Soit a une racine de Véquation F'(x) = 0, et soit F" (x) la première dérivée de F(x) qui ne s'annule pas pour x a. Si n est pair, F(a) est un maximum ou un minimum suivant que Fn(a> < 0 ou > 0. Si n est impair, F(a n'est ni maximum ni minimum.

En effet, par hypothèse,

F'(a) = 0, FVJ = °>

Fi" ] rf) = 0, F(Q)(a) 0;

d'où, en appliquant le théorème de Taylor avec le reste de Lagrange,

Si h est suffisamment petit, F "'(a -|- O/7) a le signe de F " (a). (îela posé, nous distinguons les eus suivants :

1° n est pair et Fvn,.(ai > 0. Alors, quel que soit le signe de h,

Fia | h)— F(a)> 0;

donc F(a) est un minimum.

2° n est pair et Fn(a) < 0. On a maintenant

et F(a) est 1111 maximum.

3° n est impair. La différence F(a -h a) — F(a) change de signe avec h ; donc F (a) n'est ni maximum ni minimum : la fonction F(«v) est constamment croissante on décroissante dans l'intervalle (a — /*, a |- /i).

On dit que F(a) est une valeur stationnai re de F(x) : la courbe représentative de F(.x) a un point d'inflexion pour x = a.

154. Remarque- — La remarque suivante simplifie souvent l'application de la régie précédente.

Supposons

F'[oo) = f(œ)v(x), (1)

et soit a une valeur de x qui annule f(x) sans annuler ®(ac). De la relation (1) on déduit

F"(*) ee ^(*)?(«0 -h f(ai)i(œ) ; (2)

par conséquent F"(a) = /''(a)cp(a), de sorte qu'il suffit de dériver le produit f(x)v(x) comme si le second facteur était constant Si /''(a) 0, on trouve en dérivant l'identité (2) :

F'» = f\œ)»(œ) + 2f\xy9\x) + f\x)f(oc),

d'où l'on conclut : F'"(a) = /""(a)çp(a). En général, si

f{a) --= 0, /""(a) =0, ... /*»-*>(«) - 0, /tn-i (a) ^ 0;

on a F^(a) = /^n 1)(a)<p(a).

Tl suffit donc de chercher la première dérivée de f(x) qui ne s'annule pas pour x = a. Si elle est d'ordre pair, F(a) est une valeur stationnaire ; si elle est d'ordre impair, F(a) est un maxi-

muni ou un minimum suivant que le produit de cette dérivée

par cp(ac) est négatif ou positif pour x = a.