SUITE DES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

§ 1. ClUATURE DES SOLIDES.

9ftf. Propose ns-n II US d'évaluer le volume compris sous une surrncc donnée, dont les sections parallèles à un plan donne sont des courbes fermées, entre deux plans parallèles au plan donne. Pour cela, nous ddco m poserons d'abord ce volume en tranches infiniment minces pnr des plans parallèles aux plans extrêmes; soil MPNM'P'N' une de | ces tranches. Considérons les deux cylindres qui ont respectivement pour bases les deux sections MPN, M'P'iV entre | lesquelles la tranche est comprise, et pour hauteur comm la distance infiniment petite MK de ces sections. Le volume 1 de la tranche sera compris entre les volumes des deux cylindres, et comme eeux-ci ont même hauteur, leurs volumes sont I cntr'eux comme les aires des sections MPN, M'P'N'; le rapport de ces volumes a donc pour limite l'unité, et par suite, il en est de même du rapport du volume de la tranche à celui de l'un des deux cylindres. D'où il suit que le volume du solide propose est égal, rigoureusement, a la limite de la somme des volumes des cylindres, qui ont pour bases les sections MPK, «t pour hauteurs les distances înfmimcnt petites de ces sections.

Ce raisouncmeiit suppose implicitement que tous les points de la sur- J'ace proposée, compris entre les plans MPN, M'P'N', tombent dans l'un des «ylindres, et hors de l'autre; mais si celle condition n'était i pas remplie, le résultat ne serait pas changé. En effet, si J'on projette chacun des points de la surface latérale de la tranche, sur le plan de la section MPN, toutes ces projections tomberont dans un certain espace, qui sera limité 1 «xtérieuremcnt par un contour RSQ, et intérieurement par un contour R'S'Q'. Considérant les deux cylindres qui ont J pour bases respectives les contours RSQ, R'S'Q', et pour hauteur commune l'épaisseur M K de la tranche, on verra immédiatement l^que le volume de la tranche MPNM'P'N' est compris nécessairement entre ceux des cylindres; Shque le rapport du volume de l'un quelconque de ces cylindres, au

ni dans l'un des

volume du cylindre de même hauteur qui a pour base la section MPN, a pour limite Funitë. D*où il suit que les volumes de la tranche et de cede^ nier cylindre ont encore pour limite de leur rapport Tunitë, etc.

Cela posé, concevons que les plans sécants soient normaux h Taxe des x. L*aire de la section MPN qui répond k une valeur donnée de x, sera évidemment une fonction 9 (x) de celte variable, et la distance MK de cette section k la suivante étant désignée par Ax, on aura pour le volume du cylindre élémentaire (f{x)ùu:j et pour le volume cherché

y = lim 2 (p (x) Ax ;

ou bien, Xo et x étant les valeurs de x qui correspondent aux deux sections extrêmes,

(<) V=\ 9(x)rfx.

Si donc la fonction (p{x) est immédiatement connue par la nature de la surface, la cubature du solide proposé dépendra d^une simple intégration.

%9%. Exemples. — L'ellipsoïde

est coupé, par un plan x quelconque (<), suivant une ellipse dont les demiaxes sont

d'après l'expression connue de l'aire de l'ellipse, on aura donc

<p(x) = nbc M -j j >

et si l'on prend Xo=0,

V = Tihc \ ( \ r)dx = 7r6c ( x — =-i ]•

Tel est le volume de rellipsoïde, entre le plan principal x=0 et un plan X quelconque. Faisant x=a et doublant, on aura le volume total de l'ellipsoïde

27r6c (a — = i = - ttoôc.

(f) C*est-à-clire par un plan parallèle à YZ,ct correspondant à une valeur x de I*abscisse.

Le cylindre qui a pour base Tellipse dont les axes sont 2a et 26, et pour hauteur le troisième axe Se, a pour volume ^nabc : le volume de l'ellipsoïde est donc les deux tiers du volume du cylindre circonscrit,

%99. Paraboloïde elliptique. — L*équation de la surface étant

la section faite par un plan parallèle k YZ et mené à la distance x de ce

plan^ est une ellipse dont les demi-axes sont 6 ^2x^ c (/zx, et l'aire

ç (x) = 27r6cx.

On trouve donc, pour le volume du solide compris entre cette surface et un plan x perpendiculaire à Taxe,

V = 27r6c I X cfx e= 7i6cx*.

C'est la moitié du volume du cylindre elliptique qui a pour base la section faite par le plan x, et pour hauteur la distance du sommet du paraboloïde à ce plan.

5i94. Volume compris entre le plan XY, le plan jz^s a, et la surface qui a pour équation

(x* -f- y*j* (a* -♦- z^) — (y* — x*) («• — o*) z^ — kaxyz^ = 0.

La section faite par un plan quelconque z est projetée sur le plan XY, en vraie grandeur, suivant une courbe dont l'équation peut s'écrire

Si l'on pose - = tg Ç, cette équation devient

(x« -^ y«)« — z« (y« — x«) cos 2Ç — 2xyz« sin 2Ç = 0,

ou, en coordonnées polaires,

r« — z«cos2(e — Ç)=:0.

Cest une lemniscate dont le demi axe est z et dont Faire totale, d'après ce que nous avons vu, est égale à z^. On a donc ici

<p (z) =? S*, V = l z* dz = ~ .

ttS. SoliileK de r<ti-oluliitH. — Une courbe plane DM, donnée (lar son «kiunlion t/ = f (r), tourne autour d'un axe OX siluë dans son pinn, et engendre une surrsce de rcvolulion. On veut cvalucr I le volume eompHs sous cette surface, entre deux plans perpendiculaires k Taxe, et passant par les points A et P. Ln section correspondante au plan x est ici un cercle, qui a pour myon l'ordonnée y de lu courbe géiicratriee. On a donc

n désignant par x„ et x les abscisses des points A et P,

V=i:\ y»dr.

Telle est la formule de cubature des solides de révolution. Conudéroos, comme exemple, la surface engendrée par la eycloïde

jt = a(»-sinw), s = a(l -eosw).

Nous aurons y'''j = a^(t — cosw}'rfw^o'{l — Âcosb) •+- Seos*u — eos'(i>)dw. Supposons que l'une des limites du solide réponde à l'origjne de la courbe : Xo sera nul, ainsi que la voleur correspondante de m, donc

V ^ 7:a^ \ (1 — 5 cos u H- 3 cos* m — cos' m) du

nucoso) -H jsin'w 1-

Le volume correspondant a une arcade entière de eycloïde s'obtiendra en posant w^2jr, et vaudra 5;r*(i'.

996. L'aire génératrice pourrait être eomprise entre deux courbes BM, tfM', placées du même côté de l'axe des a:; la section transversale du solide

■ serait alors un anneau circulaire, ayant pour rayons intérieur el extérieur respectivement les ordonnées i/o et 1/ des courbes FM', BM. Donc on aurait

On remplacera i/o el j/ par leurs valeurs en fonction de x et l'on intégrera.

Supposons, par exemple, que le cercle

x* -4- (y — cf = a', c > a, soit la courbe génératrice. On tire de l'équation

et par suite, on a dans le cas actuel

yo = c — - [/a* — X*, y = c -H \/a} — x^^

d'où

Donc, le volume du tore engendré par la révolution de ce cercle autour de l'axe des x, entre les plans x=0 et x, a pour expression

V = 47rc I dx |/o* — jr* = 27rcf x {/a"^ — x* -*- o'arcsin - V

On déduit facilement de là que le volume total du tore est égal à 2Tr*ca*.

Il faut bien remarquer que si le cercle générateur était coupé par Taxe OX, ce qui aurait lieu si c était <^a, le volume à évaluer se composerait le deux parties : Tune, dont la section est un cercle ayant son centre sur

l'axe et son rayon égal à l'ordonnée c-^-ya^ — x*, se calculerait par la >rcmière formule; l'autre, dont la section est un anneau circulaire, se calîulerait par la seconde formule.

997. Remarque. — Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la fonction cp(x), qui exprime l'aire de la section normale à l'axe des x dans le solide à évaluer, était donnée a priori par la nature de la surface. Quand celte condition n'est pas remplie, le problème des cubaturcs exige une double intégration, comme nous le verrons plus loin.

Exercices,

*• Volume compris entre Thyperboloïde gauche

ctlesT)lans2r=:0,;? = c.

V = â7ro6c; volume égal à celui d'uu ellipsoïde dont o, 6, c sont les demi-axes.

». Vulume compris entre le ptnboloTde rf = ai, le plan x+y -i plm XY.

9. Volume comprit entre le plan XY et le conoùJe qui « poor bue l'ellipse

pour directrice rectiligne I* droite y^O, >^«, cl dont ligéDëntrieeestpinlIèleM plinYZ.

a. f(x)=^i/';?3ïi; v=:«^.

4. Les directrices sont une ellipse construite sar les demi lies \0=a, OC=e, dansleptanXZiet une droite AB eaupant les aiei OX et OY aux disUnces 0A= a el OB=a. Li gënéralrice est une ellipse HN dont te centre est sur OS et les aies parallèles à OY, OZ : trooTer le volame eomftis ins coordonDës.

•. Démontrer que le volume engendré par un triangle dont le plan reste parallèle i lui-même, et dool les sommets gliueat sur trois droites fixes, a pour expression

g(S.+lS,+S,),

$01 s,, s, désignant respectivement les sectiinis extrêmes et la section moyenne, A la dislance des sections extrêmes.

•. Volume compris sous la surface engendrée par ta rërolntion de la ehiiMUe (ch. XVi, e\. 3) autour de l'axe dez, entre le planai = et un plans quelconque.

V. Même problème, la courbe génératrice étant la logarithmique y = ol.ir.

R. V = iro'« [(1. »)' — 2 I. « + 2].

B. Volume' engendré par la révolution de la développée de l'ellipse (IS9} autourde

•- L'aire comprise entre la courbe qui a pour équation polaire r = t(ff), eldeu); rayons vecteurs correspondants aux angles 6, et 6, tourne autour de l'axe polaire. Dénu>ii- Irer que le volume engcnilré a pour expression

*•. Volume total compris tous la turface «ngeiirlrée par la réTolution de la cardiorde r— iia(t + cos«) lutour de t'axe polaire.

R. V = ^iro'.

■ I. Volume engendre parla Hvolutioo de l'aire delà spirale logarithmique

r — ae-0,

comprise entre les angles polaires fi,:=0, fi^arelg-ni.

• a. Volume du solide engendre par la révolution de la leniniscate H^a'cosSS autearde l'axe polaire.

'-l.(l-Hk^)-l|

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